广东省深圳市龙岗区2023-2024学年八年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-03-04 类型：期末考试

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一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）

1. 下列各数是无理数的是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $\sqrt{5}$ D、 $3.1415926$

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2. 在平面直角坐标系中，点P（ $- 3$ ， 2）位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）

A、2，3，4 B、3，4，5 C、5，12，13 D、7，24，25

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4. 随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知 $O C = O D ， ∠ B O D = 108 °$ ，则凳腿与地面所成的角 $∠ O D C$ 为（）

A、 $36 °$ B、 $50 °$ C、 $54 °$ D、 $72 °$

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5. 下列计算中正确的是（）

A、 $\sqrt{4} + \sqrt{9} = \sqrt{13}$ B、 $\sqrt{(- 3)^{2}} = - 3$ C、 $5 \sqrt{\frac{1}{5}} = 1$ D、 $\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

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6. 下列命题是假命题的是（）

A、三角形三个内角的和等于 $180 °$ B、平行于同一条直线的两条直线平行 C、 $\sqrt{81}$ 的平方根是 $\pm 3$ D、相等的角是对顶角

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7. 估计 $\sqrt{15}$ 的值在（）

A、2到3之间 B、3到4之间 C、4到5之间 D、5到6之间

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8. 2023年11月28日世界最长最宽钢壳沉管隧道——深中通道海底隧道全幅贯通，采用“西桥东隧”的方案．桥梁部分和沉管隧道总长为24千米，其中桥梁部分比沉管隧道的2倍多 $3.6$ 千米．若设桥梁部分为x千米，沉管隧道为y千米，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 24 \\ x = 2 y + 3.6 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 24 \\ y = 2 x + 3.6 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 24 \\ x = 2 y - 3.6 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 24 \\ y = 2 x - 3.6 \end{array}$

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9. 杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内， $A B$ 之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（）

A、在量程范围内，质量m越大， $A B$ 之间的距离l越大； B、未挂重物时， $A B$ 之间的距离l为 $3 c m$ ； C、当 $A B$ 之间的距离l为 $15 c m$ 时，重物质量m为 $4 ． 5 k g$ ； D、在量程范围内，重物质量m每增加 $1 k g$ ， $A B$ 之间的距离l增加 $2 c m$ ．

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10. 明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中，以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．意思是：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（ $A B = 1$ 尺），将它往前推进两步，一步合5尺（ $C A^{'} = 10$ 尺），此时踏板离地五尺（ $A^{'} D ＝ 5$ 尺），则秋千绳索 $O A$ 的长度为（）

A、 $10.5$ 尺 B、 $14.5$ 尺 C、20尺 D、29尺

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二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）

11. 计算： $\sqrt[3]{8}$ = ．

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12. 某校举办“逐梦强国路，放歌新征程”主题合唱比赛，各班成绩由三部分组成：歌曲内容占成绩的 $30 %$ ，演唱技巧占 $40 %$ ，精神面貌占 $30 %$ ．八（1）班的上述三项成绩依次是：9分、8分，8分，则八（1）班的比赛成绩是分．

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13. 如图，直线 $y = 2 x + 3$ 与直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 相交于点 $P (2 ， a)$ ，则方程组 ${\begin{array}{l} y = 2 x + 3 \\ y = k x + b \end{array}$ 的解为．

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14. 声音在空气中传播的速度（简称声速） $y （ m / s ）$ 是空气温度 $t （ ℃ ）$ 的一次函数，若当空气温度为 $0 ℃$ 时，声速为 $330 m / s$ ；当空气温度为 $10 ℃$ 时，声速为 $336 m / s$ ，则声速y与温度t的函数关系式为．

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15. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 10 ， B C = 8$ ，点E上线段 $A D$ 上的一点，且满足 $A E = 3 E D$ ，连接BE ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠得到 $△ B E F$ ，延长 $E F$ 交 $B C$ 的延长线于点G ，则 $△ B E G$ 的面积是．

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三、解答题（本大题共7题．其中16题6分，17题7分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，共55分）

16. 计算：

(1)、 $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - 2$

(2)、 $(\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} - 2) + \frac{1}{\sqrt{3}}$

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17. 解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} y = x + 3 \\ 2 x + y = 6 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 2 x - 5 y = - 21 \\ 4 x + 3 y = 23 \end{array}$

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18. 已知点 $A (2 a - 4 ， a - 1)$ ，根据条件解决下列问题：

(1)、若点A在y轴上，求点A的坐标；

(2)、若点A在过点 $P (5 ， 2)$ 且与x轴平行的直线上，求线段 $A P$ 的长．

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19. 为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园---探索初中生的运动生活”为主题开展调查研．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计：
八年级9，8，11，8，7，5，6，8，6，12
九年级9，7，6，9，9，10，8，9，7，6
整理如下：
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
8
a
8
4.89
九年级
8
8.5
b
2
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、A同学说：“我平均每周锻炼 $8.2$ 小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是年级的学生；

(3)、你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由．

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20. 一名生物学家在研究两种不同的物种A和B在同一生态环境中的资源消耗时发现：50个物种A和100个物种B共消耗了200单位资源；100个物种A和50个物种B共消耗了250单位资源．

(1)、求1个物种A和1个物种B各消耗多少单位资源；

(2)、已知物种A ， B共有200个且A的数量不少于100个．设物种A有a个，物种A ， B共消耗的单位资源W ．
①求W与a的函数关系式；
②当物种A的数量为何值时，物种A、B共消耗的单位资源最少，最小值是多少？

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21. 探究与应用
【探究发现】
某数学小组的同学在学习完函数及一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义→图像→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：
点A是数轴上一点，表示的数是2；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x ， $A B$ 的距离为 $y$ ．随着x的变化， $A B$ 的距离y会如何变化呢？

(1)、数学小组通过列表得到以下数据：
$x$
$\dots$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
5
$\dots$
$y$
$\dots$
4
m
2
1
0
1
2
3
$\dots$
其中m= ．
数学小组发现给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数吗？（填“是”或“不是”）；

(2)、请通过描点、连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ▲ ；

(3)、【应用拓展】
若点 $P (a ， n)$ ， $Q (b ， n)$ 均在该函数图象上，请直接写出a ， b满足的数量关系：；

(4)、将该函数图象在直线 $y = 2$ 上方的部分保持不变，下方的图象沿直线 $y = 2$ 进行翻折，得到新函数图象，若一次函数 $y = k x + 3$ 与该函数图象只有一个交点，则k的取值范围为．
(备注：直线y=2即过点 $(0 ， 2)$ 且与x轴平行的直线．)

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22. 综合与实践
【动手操作】
数学活动课上，老师让同学们探究用尺规作图作一条直线的平行线．已知：如图1，直线l及直线l外一点A ．求作：直线 $A P$ ，使得 $A P ∥ l$ ．小明同学设计的做法如下：
①在直线l上取两点B、C ，连接 $A B$ ，以点B为圆心，小于 $A B$ 的长度为半径作弧，交线段 $A B$ 于点D ，交线段 $B C$ 于点E；
②分别以点D和E为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A B C$ 内交于点F ，作射线BF；
③以点A为圆心， $A B$ 的长为半径作弧，交射线 $B F$ 于点P ，作直线 $A P$ ．
则直线 $A P$ 平行于直线l ．

(1)、根据小明同学设计的尺规作图过程，在图2中补全图形；（要求：尺规作图并保留作图痕迹）

(2)、【验证证明】
请证明直线 $A P ∥ l$ ；

(3)、【拓展延伸】
已知：如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另外一条直线的距离相等．在图2中连接 $A C$ ， $P C$ ，请直接写出 $△ A B C$ 与 $△ P B C$ 的面积关系；

(4)、【应用实践】
某市政府为发展新能源产业，决定在如图3所示的四边形 $A B C D$ 空地上划出20km²区域用于建设新能源产业发展基地．已知在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 45 ° ， ∠ B = 90 °$ ， $A B = 8$ km， $B C = 5$ km．为便于运营管理，某公司向政府提出在线段 $A B$ 上取一点E使得四边形 $B C D E$ 的面积为20km² ，则 $A E =$ km．

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年级	平均数	中位数	众数	方差
八年级	8	a	8	4.89
九年级	8	8.5	b	2

$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y$	$\dots$	4	m	2	1	0	1	2	3	$\dots$