广东省深圳市坪山区2023-2024学年八年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-03-04 类型：期末考试

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一、选择题

1. 下列各数中为无理数的是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $0.4$ C、 $\sqrt{4}$ D、 $\sqrt[3]{4}$

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2. 直角坐标系中，点 $(a ， 4)$ 在一次函数 $y = 3 x + 1$ 的图象上，则 $a$ 的值是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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3. 下列条件中，可以判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $A B + B C > A C$ B、 $A B ： B C ： A C = 3 ： 4 ： 5$ C、 $∠ A = 75 °$ ， $∠ B = 30 °$ D、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$

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4. 如下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）

甲
乙
丙
丁
平均（ $c m$ ）
$165$
$160$
$165$
$160$
方差
$2.5$
$2.5$
$6.4$
$7.1$

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5. 如图所示的是一所学校的平面示意图，若用 $(2 ， 2)$ 表示教学楼的位置， $(3 ， 0)$ 表示旗杆的位置，则实验楼的位置可表示成（）

A、 $(3 ， - 1)$ B、 $(1 ， - 3)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(- 1 ， 3)$

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6. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A ， B ， C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D ，则CD的长为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2.2 D、3 $- \sqrt{5}$

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7. 太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点 $O$ 照射到抛物线上的光线 $O B$ ， $O C$ 反射后沿着与 $P O$ 平行的方向射出，已知图中 $∠ A B O = 44 °$ ， $∠ B O C = 133 °$ ，则 $∠ O C D$ 的度数为（）

A、 $88 °$ B、 $89 °$ C、 $90 °$ D、 $91 °$

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8. 如图，在平面直角坐标系中， $A$ 、 $B$ 两点在一次函数的图象上，其坐标分别为 $A (x ， y)$ ， $B (x + a ， y + b)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $a < 0$ ， $b = 0$ B、 $a > 0$ ， $b > 0$ C、 $a < 0$ ， $b < 0$ D、 $a b < 0$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A E$ 是角平分线， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ，点 $D$ 在点 $E$ 的左侧， $∠ B = 60 °$ ， $∠ C = 40 °$ ，则 $∠ D A E$ 的度数为（）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $30 °$ D、 $45 °$

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10. 如图，平面直角坐标系中，点 $A$ 、 $C$ 的坐标分别为 $(0 ， - 4)$ 、 $(9 ， 0)$ ，点 $B (b ， 4)$ 在第一象限内，连接 $A B$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，连接 $A C$ ， $∠ C B A = 2 ∠ B A O$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、12 B、20 C、24 D、25

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二、填空题

11. 比较大小： $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （填“ $>$ ”或“ $<$ ”）

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12. 若一次函数y＝3x﹣5与y＝2x﹣7的交点P坐标为（﹣2，﹣11），则方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - y = 5 \\ 2 x - y = 7 \end{array}$ 的解为．

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13. 某单位计划招聘一名管理人员、对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试．三人的测试成绩如表所示；根据录用程序，单位将笔试、面试两项测试得分按 $4 ： 6$ 的比例确定个人成绩，成绩最高的将被录用，那么甲、乙、丙三人中被录用的候选人是．
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
70
80
90
面试
90
80
70

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14. 2002年在北京石开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图，弦图是由四个能够重合的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若 $A B = 10$ ， $A F = 8$ ，则小正方形 $E F G H$ 的面积为．

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，交 $A C$ 与点 $E$ ， $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，且交 $A D$ 于点 $G$ ，若 $A G = 1$ ， $B C = 6$ ，则 $A F =$ ．

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三、解答题

16. 化简：

(1)、 $\sqrt{8} - 2 \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{32}$

(2)、 $(3 + \sqrt{2}) (3 - \sqrt{2}) - \sqrt{24} \div \sqrt{6}$

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17. 解方程组： ${\begin{array}{l} x + 2 y = - 2 ① \\ 7 x - 4 y = - 32 ② \end{array}$

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18. 教育部发布的《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来．某学校鼓励学生周末时间积极参加家务劳动，承担一定的家庭日常清洁、烹饪、家居美化等劳动，增强家庭责任意识．该校为了解八年级同学们周末家务劳动时间的大致情况，随机调查了部分八年级同学，并用得到的数据绘制了两幅统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：

(1)、一共调查了人；并将条形统计图补充完整；

(2)、本次抽查的学生周末劳动时间的众数是小时，中位数为小时；

(3)、参与调查的学生甲说，“我周末参与家务劳动的时间是1.5小时，而调查中周末劳动1.5小时的学生人数最多，所以，我肯定达到了平均数．”你认为甲的说法对吗？请说明理由．

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19. 寒假快来了，小飞同学打算买一只200元的羽毛球拍．但是，他不想用爸妈的钱，打算利用春节前的消费热情，自己赚取．他瞄准小朋友节前买玩具的需求，用300元从批发市场购进甲、乙两种玩具，共40件．其中甲玩具的进价是9元/件，乙玩具的进价是7元/件．

(1)、小飞购进甲、乙两种玩具各多少件？

(2)、小飞计划将甲玩具15元/件卖出，乙玩具10元/件卖出，若甲、乙两种玩具都顺利卖完，小飞赚的钱够买那只羽毛球拍吗？

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20. 小明发现年级同学日常有买水喝的习惯，他调查得知，年级平均每人每天买水支出1.2元．假设年级人数是 $x$ 人．
$x$ /人
100
200
300
……
$y_{2}$ /元
340
380
420
……

(1)、若学生自由买水喝，年级学生平均每天的总花费用 $y_{1}$ 表示，则 $y_{1}$ 与 $x$ 的函数关系是；

(2)、小明把发现的问题告知年级后，年级打算引入纯净水系统，调查得知，设备平均每天的固定维护费用是300元．实际使用过程中，学生人数 $x$ 与每天的总费用 $y_{2}$ 统计如下表： $y_{2}$ 与 $x$ 之间的数量关系是一次函数吗？请你说明理由．

(3)、该年级的人数为400人，引入纯净水系统划算吗？请你在右图中画出（1）（2）中的函数图象，然后结合图象给出结论．

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21. 如图，在平面直角坐标系中， $A (0 ， 2)$ ， $B (3 ， 0)$ ，过点 $B$ 作直线 $l ∥ y$ 轴，点 $P$ 是直线 $l$ 上的动点，以 $A P$ 为边在 $A P$ 右上侧作等腰直角 $△ A P Q$ ，使 $∠ A P Q = 90 °$ ．

(1)、如图1当点 $P$ 落在点 $B$ 时，则点 $Q$ 的坐标是；

(2)、学生甲认为点 $Q$ 的坐标一定跟点 $P$ 有关，于是进行了如下探究：
如图2，小聪同学画草图时，让点 $P$ 落在 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 不同的特殊位置时（ $P_{1}$ 在 $x$ 轴上、 $P_{2} A$ 与 $x$ 轴平行、当 $Q$ 落在 $x$ 轴上时对应点 $P_{3}$ ），画出了几个点对应的 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 、 $Q_{3}$ 三个不同的位置，发现 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 、 $Q_{3}$ 在同一条直线上，请你根据学生甲的猜测及题目条件，求出点 $Q$ 所在直线的解析式；

(3)、在（2）中，虽然求出了点 $Q$ 所在直线的解析式，但是小明同学认为几个特殊点确定解析式是一种猜测，当点 $P$ 在 $l$ 上运动时，所有的 $Q$ 点都在一条直线上吗？就解设了点 $Q$ 的坐标为 $(x ， y)$ ，希望用一般推理的方式求出 $x$ 和 $y$ 满足的关系式，请你帮助小明给出解答．

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22. 如下图，某学校计划在校内一道路旁建造超市，将地图简化，如图1所示，宿舍楼 $A$ 与校内道路 $l$ 的距离 $A M$ 为50米，教学楼 $B$ 与校内道路 $l$ 的距离 $B N$ 为160米， $M N = 210$ 米，现要在校内道路旁建造一超市．

(1)、请在图1中画出点 $P$ （点 $P$ 在道路 $l$ 上，道路宽度忽略不记），使学生从宿舍楼 $A$ 走到超市 $P$ ，再走到教学楼所走路程最短，并求出最短路程．

(2)、如图2所示，若宿舍楼 $A$ 和教学楼 $B$ 之间有一面70米长的校园文化墙 $C D$ ，文化墙 $C D$ 垂直于校内道路 $l$ ， $D$ 到校内道路 $l$ 的距离 $D R$ 为40米， $M R = 120$ 米， $R N = 90$ 米，现在依然要求学生从宿舍楼 $A$ 走到超市 $P$ ，再走到教学楼 $B$ 所走路程最短．
①众所周知，“两点之间，线段最短”，但由于文化墙 $C D$ 这个障碍物的存在，需要研究两点之间不同折线长度的大小关系，他认为 $A^{'} P_{2} + P_{2} B > A^{'} P_{1} + P_{1} B$ ，并进行了证明，请你将下述证明过程补充完整：
证明：如图4，延长 $A^{'} P_{1}$ 交 $B P_{2}$ 于点 $I$ ，
$∵ A^{'} P_{2} + P_{2} B = A^{'} P_{2} + P_{2} I + I B$ ， $A^{'} P_{2} + P_{2} I > A^{'} I$
$∴ A^{'} P_{2} + P_{2} B > A^{'} I + I B$
又 $∵ A^{'} I + I B = A^{'} P_{1} + P_{1} I + I B$ ， ▲ ，
$∴ A^{'} I + I B > A^{'} P_{1} + P_{1} B$
$∴ A^{'} P_{2} + P_{2} B > A^{'} P_{1} + P_{1} B$
②如图5，延长 $B D$ 交校内道路 $l$ 于点 $T$ ，过 $A$ 作 $A X ⊥ l$ 于点 $X$ ， $Y$ 是 $l$ 上 $T$ 右侧的一点，利用①中证明的结论，可判断超市 $P$ 的位置应位于 ▲ （从以下四个选项中选择）．
A． $X$ 左侧B．线段 $X T$ 上C．线段 $T Y$ 上（不含点 $T$ ）D． $Y$ 右侧
③请在图6中画出超市 $P$ 的位置，并求出最短路程．

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	甲	乙	丙	丁
平均（ $c m$ ）	$165$	$160$	$165$	$160$
方差	$2.5$	$2.5$	$6.4$	$7.1$

测试项目	测试成绩/分
测试项目	甲	乙	丙
笔试	70	80	90
面试	90	80	70

$x$ /人	100	200	300	……
$y_{2}$ /元	340	380	420	……