广西南宁重点中学2022-2023学年八年级（下）开学数学试卷

试卷更新日期：2024-03-04 类型：开学考试

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一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（）

A、赵爽弦图 B、费马螺线 C、科克曲线 D、斐波那契螺旋线

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2. 下列式子中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{0.2}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ C、 $\sqrt{4}$ D、 $\sqrt{6}$

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3. 微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小 $.$ 某种电子元件的面积约为 $0.00000053$ 平方毫米， $0.00000053$ 用科学记数法表示为（）

A、 $5.3 \times 10^{- 6}$ B、 $5.3 \times 10^{- 7}$ C、 $5.3 \times 10^{- 8}$ D、 $53 \times 10^{- 8}$

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4. 内角和为 $540 °$ 的多边形是（）

A、六边形 B、五边形 C、四边形 D、三边形

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$ B、 $2 \sqrt{a} \times 3 \sqrt{a} = 6 \sqrt{a}$ C、 $x^{3} \cdot x^{4} = x^{12}$ D、 $(x^{2})^{5} = x^{10}$

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6. 如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 $△ A B C$ ≌ $△ A D C$ 的是（）

A、 $C B = C D$ B、 $A B = A D$ C、 $∠ B C A = ∠ D C A$ D、 $∠ B = ∠ D$

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7. 若分式 $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 的值为 $0$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $1$ 或 $- 1$ B、 $0$ C、 $- 1$ D、 $1$

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8. 我区“人才引进”招聘考试分笔试和面试，按笔试占 $60 %$ 、面试占 $40 %$ 计算加权平均数作为总成绩 $.$ 应试者李老师的笔试成绩为 $90$ 分，面试成绩为 $95$ 分，则李老师的总成绩为（）

A、 $90$ B、 $91$ C、 $92$ D、 $93$

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9. 如图，在数轴上点 $A$ 表示的数为 $a$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $- 1 - \sqrt{3}$ C、 $- 1 + \sqrt{5}$ D、 $- 1 - \sqrt{5}$

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10. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2}{x - 5} + \frac{a + 1}{5 - x} = 1$ 无解，则 $a$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $1$ 或 $5$ D、 $5$

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11. 在如图所示的网格中，在格点上找一点 $P$ ，使 $△ A B P$ 为等腰三角形，则点 $P$ 有（）

A、 $6$ 个 B、 $7$ 个 C、 $8$ 个 D、 $9$ 个

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12. 如图，已知直线 $l$ ： $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 与 $x$ 轴的夹角是 $30 °$ ，过点 $A (0，1)$ 作 $y$ 轴的垂线交直线 $l$ 于点 $B$ ，过点 $B$ 作直线 $l$ 的垂线交 $y$ 轴于点 $A_{1}$ ；过点 $A_{1}$ 作 $y$ 轴的垂线交直线 $l$ 于点 $B_{1}$ ，过点 $B_{1}$ 作直线 $l$ 的垂线交 $y$ 轴于点 $A_{2} \dots \dots$ 按此作法继续下去，则点 $B_{2022}$ 的坐标为（）

A、 $(4^{2022} \times \sqrt{3} ， 4^{2022})$ B、 $(2^{2022} \times \sqrt{3} ， 2^{2022})$ C、 $(4044 \sqrt{3} ， 4044)$ D、 $(2022 \sqrt{3} ， 2022)$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

13. 二次根式 $\sqrt{2 - x}$ 在实数范围内有意义，x的取值范围是.

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14. 分解因式： $a^{2} b - 16 b =$ ．

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15. 若关于 $x$ 的二次三项式 $x^{2} + a x + 25$ 是完全平方式，则 $a$ 的值为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $D E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，若 $D E = 4$ ， $A B = 10$ ，则 $B D$ 的长为．

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17. 如图，台阶阶梯每一层高 $20 cm$ ，宽 $40 cm$ ，长 $50 cm$ ．一只蚂蚁从 $A$ 点爬到 $B$ 点，最短路程是．

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18. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，以BC为边在BC的右侧作等边 $△ B C D$ ，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP ， BP ．当 $A P + B P$ 的值最小时， $∠ C B P$ 的度数为．

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三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19. 计算：

(1)、 $\sqrt{27} \times \sqrt{50} \div \sqrt{6}$ ；

(2)、 $(\sqrt{15} - \sqrt{2})^{2} - (7 + 4 \sqrt{3}) (7 - 4 \sqrt{3}) .$

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20. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 2} - 1) \div \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = - 1$ ．

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21. 如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (- 1，4)$ ， $B (- 1，2)$ ， $C (2，1)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴成轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $A_{1}$ 的坐标；

(2)、作出 $△ A B C$ 的高 $A D$ ，保留作图痕迹，不写作法，并直接写出 $A D$ 的长．

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22. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $A B = E C$ ．

(1)、求证： $△ A B D$ ≌ $△ E C B$ ；

(2)、若 $∠ 1 = 20 °$ ， $∠ A D B = 25 °$ ，求 $∠ D E C$ 的度数．

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23. 数学源于生活，寓于生活，用于生活 $.$ 在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用 $.$ 为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进 $《$ 什么是数学 $》$ 和 $《$ 古今数学思想 $》$ 若干套，已知 $5000$ 元可购买 $《$ 什么是数学 $》$ 的数量比 $《$ 古今数学思想 $》$ 多 $60$ 套，且 $《$ 古今数学思想 $》$ 的单价是 $《$ 什么是数学 $》$ 单价的 $2.5$ 倍．

(1)、求每套 $《$ 古今数学思想 $》$ 的价格；

(2)、学校计划用不超过 $4000$ 元购进这两套书共 $70$ 套，此时正赶上书城 $8$ 折销售所有书籍，求 $《$ 古今数学思想 $》$ 最多能买几套？

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24. 一艘轮船从 $A$ 港向南偏西 $51 °$ 方向航行 $100 k m$ 到达 $B$ 岛，再从 $B$ 岛沿 $B M$ 方向航行 $125 k m$ 到达 $C$ 岛， $A$ 港到航线 $B M$ 的最短距离是 $60 k m$ ．

(1)、若轮船速度为 $25 k m /$ 小时，求轮船从 $C$ 岛沿 $C A$ 返回 $A$ 港所需的时间．

(2)、求 $C$ 岛在 $A$ 港的什么方向？

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25.

(1)、【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图 $1$ ，是用长为 $x$ ，宽为 $y (x > y)$ 的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分 $($ 小正方形 $)$ 的面积，可以得到 $(x - y)^{2}$ 、 $(x + y)^{2}$ 、 $x y$ 三者之间的等量关系式：；

(2)、【知识迁移】如图 $2$ 所示的大正方体是由若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：；

(3)、【成果运用】利用上面所得的结论解答：
①已知 $x > y$ ， $x + y = 5$ ， $x y = \frac{9}{4}$ ，求 $x - y$ 的值；
②已知 $a + b = 6$ ， $a b = 7$ ，则 $a^{3} + b^{3} =$ ．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (m ， 0)$ 、 $B (0 ， n)$ 分别为 $x$ 轴和 $y$ 轴上的点，且 $m$ ， $n$ 满足 $\sqrt{m + 4} + m^{2} - 2 m n + n^{2} = 0$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B E$ 于点 $E$ ，延长 $A E$ 至点 $C$ ，使得 $A C = B D$ ，连接 $O C$ 、 $O D$ ．

(1)、 $B$ 点的坐标为； $∠ O A B$ 的度数为．

(2)、如图 $1$ ，若点 $C$ 在第四象限，试判断 $O C$ 与 $O D$ 的数量关系与位置关系，并说明理由．

(3)、如图 $2$ ，若点 $C$ 在第一象限，连接 $C D$ ， $C E$ 平分 $∠ O C D$ ， $A C$ 与 $O D$ 交于点 $F .$ 试判断 $D E$ 与 $C F$ 的数量关系，并说明理由．

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