广东省佛山市南海区、三水区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-04 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）

1. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 的一次项系数是（）

A、3 B、1 C、0 D、 $- 2$

查看试题解析
2. 北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（）

A、主视图与左视图相同 B、主视图与俯视图相同 C、左视图与俯视图相同 D、三种视图都相同

查看试题解析
3. 若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $(- 3 ， 2)$ ，则这个函数的图象一定经过点（）

A、 $(- 2 ， - 3)$ B、 $(3 ， 2)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 12)$ D、 $(\frac{1}{2} ， - 12)$

查看试题解析
4. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

查看试题解析
5. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，过点 $D$ 作 $D E ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点 $E$ . 若 $A D = 2 ， B D = 3$ ，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
6. 小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，在同一时刻，若测得木杆长 $2 m$ ，它的影长为 $1 m$ ，旗杆的影长为 $6 m$ ，则旗杆的高度为（）

A、 $9 m$ B、 $10 m$ C、 $11 m$ D、 $12 m$

查看试题解析
7. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形， $O A ： O D = 1 ： 4$ ， $△ A B C$ 的周长为8，则 $△ D E F$ 的周长为（）

A、8 B、24 C、32 D、40

查看试题解析
8. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一些立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为 $x$ 尺，根据题意，可列方程为（）

A、 $8^{2} + x^{2} = {(x - 3)}^{2}$ B、 $8^{2} + {(x + 3)}^{2} = x^{2}$ C、 $8^{2} + {(x - 3)}^{2} = x^{2}$ D、 $x^{2} + {(x - 3)}^{2} = 8^{2}$

查看试题解析
9. 如图，电路连接完好，且各元件工作正常. 随机闭合开关 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ 中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（）

A、0 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

查看试题解析
10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E为 $B A$ 延长线上一点，F为 $C E$ 的中点，以B为圆心， $B F$ 长为半径的圆弧过 $A D$ 与 $C E$ 的交点G，连接 $B G$ ．若 $A B = 4$ ， $C E = 10$ ，则 $A G =$ （）

A、2 B、2.5 C、3 D、3.5

查看试题解析

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 若 $3 m = 7 n$ ，则 $\frac{n}{m} =$ .

查看试题解析
12. 在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ，若 $O A = 2$ ，则 $B D$ 的长为.

查看试题解析
13. 方程 $3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的一个根是 $a$ ，则 $6 a^{2} - 10 a + 2023 =$ .

查看试题解析
14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $O A B C$ 的顶点 $O (0 ， 0) ， A (4 ， 0) ， ∠ A O C = 6 0^{∘}$ ，则顶点 $B$ 的坐标为.

查看试题解析
15. 在平面直角坐标系中，已知 $A (1 ， 0) ， B (2 ， 0) ， C (0 ， 1)$ ，在 $x$ 轴上有一点 $P$ ，它与 $A 、 C$ 两点形成的三角形与 $△ A B C$ 相似（全等除外），则 $P$ 点的坐标是.

查看试题解析

三、解答题（一）：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.

16. 解方程： $x^{2} - 2 x + 1 = 9$ .

查看试题解析
17. 如图， $∠ B = ∠ D ， ∠ 1 = ∠ 2$ . 求证： $△ A B C \sim △ A D E$ .

查看试题解析
18. 2023年10月8日，第19届亚运会在杭州举办. 小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务. 现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为 $A ， B ， C$ .

(1)、小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到 $A$ （宸宸）的概率是；

(2)、小蔡从中随机抽取两盒，请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是 $B$ （琮琮）和 $C$ （莲莲）的概率.

查看试题解析
19. 如图，已知 $E ， F$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上的两点，且 $B E = D F$ .

(1)、请判断四边形 $A E C F$ 的形状，并证明；

(2)、若 $A B = 3 \sqrt{2} ， B E = 2$ ，则四边形 $A E C F$ 的周长为.

查看试题解析
20. 如下图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘} ， A C = 16 c m ， B C = 8 c m$ ，一动点 $P$ 从点 $C$ 出发沿着 $C B$ 方向以 $2 c m / s$ 的速度运动，另一动点 $Q$ 从 $A$ 出发沿着 $A C$ 边以 $4 c m / s$ 的速度运动， $P 、 Q$ 两点同时出发，运动时间为 $t (s)$ .

(1)、当运动时间为 $t (s)$ 时， $C P =$ $c m$ ， $C Q =$ $c m$ ；（用含 $t$ 的代数式表示）

(2)、若 $△ P C Q$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的 $\frac{1}{4}$ ，求 $t$ 的值.

查看试题解析

四、解答题（二）：（本大题共3小题，21，22题每小题8分，23题10分，共26分）

21. 佛山某企业从2019年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如表：

年度
2019
2020
2021
2022
投入技改资金 $x /$ 万元
2. 5
3
4
4. 5
产品成本 $y /$ （万元/件）
7. 2
6
4. 5
4

(1)、请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；

(2)、按照这种变化规律，若2023年投入技改资金5万元.
①预计生产成本每件比2022年降低多少万元？
②若打算在2023年把每件产品的成本降低到3. 2万元，则需投入技改资金多少万元？

查看试题解析
22. 如图①，矩形 $A B C D$ 的边 $A B = 4 ， A D = 8$ ，将矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转角 $α (0^{∘} < α < 9 0^{∘})$ 得到矩形 $A E F G$ ， $A D$ 与 $E F$ 交于点 $H$ .
图① 图②

(1)、数学思考：填空：图①中 $∠ A H F =$ ；（用含 $α$ 的代数式表示）

(2)、深入探究：如图②，当点 $H$ 在对角线 $A C$ 的垂直平分线上时，连接 $C H$ ，求证： $E H = D H$ .

查看试题解析
23. 综合与实践
主题：X型晒衣架稳固性检测
步骤：如图甲是晒衣架的实物图，图乙是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆 $A B = C D = 136 c m$ ， $O A = O C = 51 c m ， O E = O F = 34 c m$ ，现将晒衣架完全稳固张开，横扣链 $E F$ 成一条线段，测得 $E F = 32 c m$ .

证明与计算：

(1)、连接 $A C$ ，证明： $A C ∥ E F$ ；

(2)、利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？

查看试题解析

	年度	2019	2020	2021	2022
投入技改资金 $x /$ 万元	2. 5	3	4	4. 5
产品成本 $y /$ （万元/件）	7. 2	6	4. 5	4

五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

24. 综合探究
如图，已知一次函数 $y_{1} = \frac{1}{2} x + 2$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A (2 ， m) 、 B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ .
备用图

(1)、求反比例函数的表达式和点 $B$ 的坐标；

(2)、过点 $C$ 的直线交 $x$ 轴于点 $E$ ，且与反比例函数图象只有一个交点，求 $C E$ 的长；

(3)、我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“组合四边形”. 设点 $P$ 是 $y$ 轴负半轴上一点，点 $Q$ 是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形 $A P B Q$ 是“组合四边形”时，求 $Q$ 点的横坐标 $x_{Q}$ 的值.

查看试题解析
25. 综合运用
在矩形 $O A B C$ 中，以点 $O$ 为坐标原点，分别以 $O C ， O A$ 所在直线为 $x$ 轴、 $y$ 轴，建立平面直角坐标系，点 $E$ 是射线 $O C$ 上一动点，连接 $A E$ ，过点 $O$ 作 $O F ⊥ A E$ 于点 $D$ ，交直线 $B C$ 于点 $F$ .
图① 图② 图③

(1)、如图①，当矩形 $O A B C$ 是正方形时，若点 $E$ 在线段 $O C$ 上，线段 $A E$ 与 $O F$ 的数量关系是（填“相等”或“不相等”）；

(2)、如图②，当点 $E$ 在线段 $O C$ 上，且 $O E = 2 E C$ ，以点 $F$ 为直角顶点在矩形 $O A B C$ 的外部作直角三角形 $C F H$ ，且 $F H = O E$ ，连接 $E H$ ，交 $B C$ 于点 $G$ ，求 $\frac{S_{△ F G H}}{S_{四边形 O E G F}}$ 的值；

(3)、如图③，若点 $A (0 ， 3)$ ，点 $C (1 ， 0)$ ，点 $E$ 在线段 $O C$ 的延长线上，点 $F$ 在线段 $C B$ 的延长线上， $F H ⊥ F C ， F B ： B C = 1 ： 3$ ，连接 $O H$ ，取 $O H$ 的中点 $M$ ，连接 $D M$ ，设 $F H = n$ ， $D M^{2} = m$ ，求 $m$ 关于 $n$ 的函数关系式.

查看试题解析