广东省汕头市潮阳区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-04 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列几何体中，是圆锥的为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，开幕式现场直播及相关报道在多媒体平台的总播放量约为503000000次，其中数据“503000000”用科学记数法表示为（）

A、50.3×10⁷ B、5.03×10⁸ C、50.3×10⁸ D、5.03×10⁹

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3. 下列各组数中，相等的一组是（）

A、 $- (- 1)$ 与 $- | - 1 |$ B、 ${(- 2)}^{2}$ 与 $- 2^{2}$ C、 ${(- 3)}^{3}$ 与 $- 3^{3}$ D、 $\frac{4^{2}}{5}$ 与 ${(\frac{4}{5})}^{2}$

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4. 下列结论中，正确的是（）

A、代数式 $π x^{2} + 4 x - 3$ 是三次三项式 B、 $3 x y$ 与 $- 2 x y^{2}$ 是同类项 C、代数式 $x^{2} + 4 x - 3$ 的常数项是3 D、单项式 $- \frac{3 x^{2} y}{5}$ 系数是 $- \frac{3}{5}$ ，次数是3

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $7 a + a = 7 a^{2}$ B、 $5 y - 3 y = 2$ C、 $x^{3} - x = x^{2}$ D、 $2 x y^{2} - x y^{2} = x y^{2}$

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6. 下列运用等式性质进行的变形，不正确的是（）

A、如果 $a = b$ ，那么 $a + c = b + c$ B、如果 $a = b$ ，那么 $a - c = b - c$ C、如果 $a = b$ ，那么 $a c = b c$ D、如果 $a = b$ ，那么 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$

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7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐. 问人数和车数各多少？设车 $x$ 辆，根据题意，可列出的方程是（）．

A、 $3 x - 2 = 2 x + 9$ B、 $3 (x - 2) = 2 x + 9$ C、 $\frac{x}{3} + 2 = \frac{x}{2} - 9$ D、 $3 (x - 2) = 2 (x + 9)$

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8. 如图，下列说法中正确的是（）
题8图

A、 $O A$ 方向是北偏东 $30 °$ B、 $O B$ 方向是北偏西 $75 °$ C、 $O C$ 方向是南偏西 $75 °$ D、 $O D$ 方向是东南方向

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9. 将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中 $∠ α$ 和 $∠ β$ 一定互余的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 在大长方形 $A B C D$ 中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽 $A E$ ．设 $A E = x c m$ ，下列方程符合题意的为（）
题10图

A、 $2 x + 6 = 14 - x$ B、 $2 x + 6 = 14 - 3 x$ C、 $2 x + 6 = 14 - 3 x + x$ D、 $14 - 3 x = 6$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

11. 在 $\frac{7}{3}$ ， 0， $π$ ， $- 3.142$ ， 3， $+ 4$ 这六个数中，有理数有个．

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12. 若 $- \frac{1}{2} x^{m + 3} y$ 与 $2 x^{4} y^{n + 3}$ 是同类项，则 ${(m + n)}^{2024} =$ ．

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13. 若 $x = 1$ 是关于x的一元一次方程 $a x - 3 b x = π$ 的解，则 $3 b - a =$ ．

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14. 下列三个生活生产现象，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（填序号）：
①用两个钉子，就可以把一条木条固定在干墙上；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
③植树时只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线．

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15. 点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动：第一次跳动到 $O A$ 的中点 $A_{1}$ 处，第二次从 $A_{1}$ 点跳动到 $O A_{1}$ 的中点 $A_{2}$ 处，第三次从 $A_{2}$ 点跳动到 $O A_{2}$ 的中点 $A_{3}$ 处，……，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，线段 $A A_{6}$ 的长度为．
题15图

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三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分．

16. 计算： $- 1^{4} - (- 5 \frac{1}{2}) \times \frac{4}{11} + {(- 2)}^{3} \div | - 3^{2} + 1 |$ ．

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17. 先化简，再求值： $2 x^{2} - [3 (- \frac{1}{3} x^{2} + \frac{2}{3} x y) - 2 y^{2}] - 2 (y^{2} - x y + 2 y^{2})$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = - 1$ ．

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18. 已知有理数 $a > 0$ ， $a b > 0$ ， $b c < 0$ ，且 $| b | < | c | < | a |$ ．

(1)、在如图所示的数轴上将b ， c这两个数表示出来；

(2)、化简： $| c + a | - 2 | b - a | + | b + c | + | a |$ ．

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四、解答题（二）：本大题共3小题，第19、20题各8分，第21题9分，共25分．

19. 综合与实践

(1)、【问题情境】下面左图是一个三角形，已知 $∠ A C B ＝ 90 °$ ，那么 $∠ A$ 的余角是哪个角呢？
答：；

(2)、【实践探究】小明用三角尺在这个三角形中画了一条高 $C D$ （点D是垂足），得到右图．
【问题解决】在右图中，小明通过仔细观察、认真思考，找出了三对余角，请你帮小明把它们写出来：①；②；③；

(3)、在右图中， $∠ A C B$ ， $∠ A D C$ ， $∠ C D B$ 都是直角，所以 $∠ A C B = ∠ A D C = ∠ C D B = 90 °$ ，小明还发现了另外两对相等的锐角，请你也仔细地观察、认真地思考分析，把它们写出来，并请说明理由．

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20. 阅读与理解
【阅读材料】我们知道： $4 x - 2 x + x = (4 - 2 + 1) x = 3 x$ ，类似地，我们把 $(a + b)$ 看成一个整体，则 $4 (a + b) - 2 (a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1) (a + b) = 3 (a + b)$ ． “整体思想”是数学的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．

(1)、【尝试应用】把 ${(a - b)}^{2}$ 看成一个整体，合并 $3 {(a - b)}^{2} - 6 {(a - b)}^{2} + 2 {(a - b)}^{2}$ 的结果是；

(2)、已知 $x^{2} - 2 y - 4 = 0$ ，求 $3 x^{2} - 6 y - 21$ 的值；

(3)、【拓展探索】已知 $a - 2 b = 3$ ， $2 b - c = ﹣ 5$ ， $c - d = 10$ ，
求 $(a - c) + (2 b - d) - (2 b - c)$ 的值．

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21. 已知点B在线段 $A C$ 上，点D在线段 $A B$ 上．
图1 图2

(1)、如图1，若 $A B = 6 c m$ ， $B C = 4 c m$ ， D为线段 $A C$ 的中点，求线段 $B D$ 的长度；

(2)、如图2，若 $B D = \frac{1}{4} A B = \frac{1}{3} C D$ ， E为线段 $A B$ 的中点， $E C = 12 c m$ ，求线段 $A C$ 的长度．

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五、解答题（三）：本大题共3小题，第22、23题各10分，第24题12分，共32分．

22. 某企业加工一批员工制服，现有甲、乙两个加工厂想加工这批制服．已知甲工厂每天能加工这种制服18套，乙工厂每天能加工这种制服27套，且单独加工这批制服甲厂比乙厂要多用10天．在加工过程中，企业需付甲厂每天费用80元、付乙厂每天费用120元．

(1)、求这批制服共有多少套；

(2)、为了尽快完成这批制服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工，而乙工厂每天的生产速度提高 $\frac{1}{9}$ ，乙工厂单独完成剩余部分．已知乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还少7天，求乙工厂共加工多少天；

(3)、经企业研究决定制定如下方案：
方案一：由甲工厂单独完成；
方案二：由乙工厂单独完成；
方案三：按第（2）小题的方式完成；
并且以上三种方案每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由企业提供每天15元的午餐补助费．请你通过计算帮企业选择一种最省钱的加工方案．

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23. 已知，O为直线 $A B$ 上一点， $∠ D O E ＝ 90 °$ ．
图1 图2

(1)、如图1，若 $∠ A O C = 130 °$ ， $O D$ 平分 $∠ A O C$ ，求 $∠ B O D$ 的度数；

(2)、在（1）的条件下，请通过计算说明 $O E$ 是否平分 $∠ B O C$ ；

(3)、如图2， $∠ A O E ： ∠ B O E = 7 ： 2$ ，求 $∠ A O D$ 的度数．

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24. 综合运用
【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A ，点B表示的数分别为a ， b ，则A ， B两点之间的距离 $A B = | a - b |$ ，线段 $A B$ 的中点表示的数为 $\frac{a + b}{2}$ ．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为 $- 2$ ，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（ $t > 0$ ）．
备用图
【综合运用】

(1)、A ， B两点间的距离 $A B =$ ，线段 $A B$ 的中点表示的数为；

(2)、求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；

(3)、求当t为何值时， $P Q = \frac{1}{2} A B$ ；

(4)、若点M为 $P A$ 的中点，点N为 $P B$ 的中点，点P在运动过程中，线段 $M N$ 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段 $M N$ 的长．

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