广东省汕头市龙湖区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-04 类型：期末考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 中国新能源汽车发展迅速，下列各图是国产新能源汽车图标，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 分式 $\frac{1}{3 + x}$ 有意义的条件是（）

A、x＝－3 B、x≠－3 C、x≠3 D、x≠0

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3. 下列多边形中，内角和等于 $360 °$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下面运算正确的是（）

A、7a²b-5a²b=2 B、x⁸÷x⁴=x² C、（a-b）²=a²-b² D、（2x²）³=8x⁶

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5. 袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（）

A、10cm B、15cm C、20cm D、25cm

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6. 我国古代数学家祖冲之发现的圆周率的分数近似值 $\frac{355}{113} \approx 3.1415929$ ，称为密率，比 $π$ 的值只大 $0.0000003$ ， $0.0000003$ 这个数用科学记数法可表示为（）

A、 $3 \times 10^{- 7}$ B、 $0.3 \times 10^{- 7}$ C、 $0.3 \times 10^{- 6}$ D、 $3 \times 10^{- 6}$

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7. 阅读以下作图步骤：
①在 $O A$ 和 $O B$ 上分别截取 $O C ， O D$ ，使 $O C = O D$ ；②分别以 $C ， D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A O B$ 内交于点 $M$ ；③作射线 $O M$ ，连接 $C M ， D M$ ，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ 且 $C M = D M$ B、 $∠ 1 = ∠ 3$ 且 $C M = D M$ C、 $∠ 1 = ∠ 2$ 且 $O D = D M$ D、 $∠ 2 = ∠ 3$ 且 $O D = D M$

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8. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）

A、(a－b)²＝a²－2ab＋b² B、a(a－b)＝a²－ab C、(a－b)²＝a²－b² D、a²－b²＝(a＋b)(a－b)

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9. 如图所示，在△ABC中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， DE为AB的中垂线， $A D = 12$ ，则CD的长是（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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10. 如图，已知 $△ A B C$ 中高 $A D$ 恰好平分边 $B C$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $P$ 是 $B A$ 延长线上一动点，点 $O$ 是线段 $A D$ 上一动点，且 $O P = O C$ ，下面的结论：
① $A O + A P = A B$ ；
② $△ O C P$ 的周长为 $3 C P$ ；
③ $∠ A P O + ∠ P C B = 90 °$ ；
④ $S_{△ A B C} = S_{四边形 A O C P}$ ．
其中正确个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 因式分解： $x^{2} y + 2 x y + y$ = ．

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12. 如图，点 $D$ 在 $△ A B C$ 的边 $B C$ 的延长线上，若 $∠ B = 45 °$ ， $∠ A C D = 150 °$ ，则 $∠ A$ 的大小为．

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13. 如图，点 $E$ 、 $C$ 在线段 $B F$ 上，且 $∠ B = ∠ D E F$ ， $B C = E F$ ，若要使 $△ A B C$ ≌ $△ D E F$ ，则还需补充一个条件 $. ($ 只需填一个答案即可 $)$

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14. 计算： $(\frac{1}{2})^{- 1} - (π - 1)^{0} + | 1 - \sqrt{3} | =$ ．

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15. 人们把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“ $0.618$ 法”就应用了黄金比． $a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ， $b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，记 $S_{1} = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}, S_{2} = \frac{2}{1 + a^{2}} + \frac{2}{1 + b^{2}}, \dots, S_{100} = \frac{100}{1 + a^{100}} + \frac{100}{1 + b^{100}}$ ， $\dots$ ，则 $S_{1} + S_{2} + \dots + S_{100} =$ ．

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三、计算题：本大题共1小题，共7分。

16. 解分式方程： $\frac{3}{x - 1} + 2 = \frac{x}{x - 1}$ ．

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四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 计算：
$(a + 3) (a - 3) + a (1 - a)$ ．

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18. 如图， $C$ 是 $B D$ 的中点， $A B = E D$ ， $A C = E C$ ．求证： $∠ B = ∠ D$ ．

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19. 先化简，再求值 $(a - \frac{2 a - 1}{a}) \div \frac{a - 1}{a}$ ，其中 $a = 2024$ ．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线．以点 $A$ 圆心， $A D$ 长为半径画弧，与 $A B ， A C$ 分别交于点 $E ， F$ ，连接 $D E ， D F$ ．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ A D F$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 80 °$ ，求 $∠ B D E$ 的度数．

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21. 如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别是 $A （ 1 ， 1 ）$ ， $B （ 4 ， 2 ）$ ， $C （ 3 ， 4 ）$ ．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于x轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $C_{1}$ 的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、在x轴上求一点P，使 $P A + P B$ 的值最小，通过画图直接画出点P．

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22. 某欧洲客商准备采购一批特色商品，下面是一段对话：
甲：用 $16000$ 元采购 $A$ 型商品的件数是用 $7500$ 元采购 $B$ 型商品的件数的 $2$ 倍；
乙：一件 $A$ 型商品的进价比一件 $B$ 型商品的进价多 $10$ 元．

(1)、根据对话信息，求一件 $A$ ， $B$ 型商品的进价分别为多少元；

(2)、若该欧洲客商购进 $A$ ， $B$ 型商品共 $160$ 件进行试销，其中 $A$ 型商品的件数不大于 $B$ 型商品的件数，且不小于 $78$ 件，则共有哪几种进货方式？

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23. 综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径 $.$ 通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)、发现问题：如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C = ∠ E A F = 30 °$ ，连接 $B E$ ， $C F$ ，延长 $B E$ 交 $C F$ 于点 $D .$ 则 $B E$ 与 $C F$ 的数量关系：， $∠ B D C =$ $°$ ；

(2)、类比探究：如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C = ∠ E A F = 120 °$ ，连接 $B E$ ， $C F$ ，延长 $B E$ ， $F C$ 交于点 $D .$ 请猜想 $B E$ 与 $C F$ 的数量关系及 $∠ B D C$ 的度数，并说明理由；

(3)、拓展延伸：如图 $3$ ， $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 均为等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ E A F = 90 °$ ，连接 $B E$ ， $C F$ ，且点 $B$ ， $E$ ， $F$ 在一条直线上，过点 $A$ 作 $A M ⊥ B F$ ，垂足为点 $M .$ 则 $B F$ ， $C F$ ， $A M$ 之间的数量关系：．

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24. 综合与实践：
【积累经验】
我们在第十三章 $《$ 全等三角形 $》$ 中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题. 例如：我们在解决：如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，线段 $D E$ 经过点 $C$ ，且 $A D ⊥ D E$ 于点 $D$ ， $B E ⊥ D E$ 于点 $E$ ．
求证： $A D = C E$ ， $C D = B E$ 这个问题时，只要证明 $△ A D C$ ≌ $△ C E B$ 即可得到解决．

(1)、请写出证明过程：

(2)、【类比应用】
如图 $2$ ， $△ A B C$ 在平面直角坐标系中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 1)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(4 ， 2)$ ，求点 $B$ 的坐标．

(3)、【拓展提升】
如图 $3$ ，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(2 ， - 1)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(5 ， 0)$ ，以 $A B$ 为一边构造等腰直角三角形 $A B C$ ，直接写出在第一象限内满足条件的所有点 $C$ 的坐标．

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