河北省曲阳县2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-04 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x - 1 ， x \geq 1 \\ | x + 1 | ， x < 1 \end{array}$ ，若 $f (a) = 2$ ，则 $a$ 的所有可能值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $1$ ， $\frac{3}{2}$ C、 $- 3$ ， $\frac{3}{2}$ D、 $- 3$ ， $1$ ， $\frac{3}{2}$

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2. 已知全集 $U = R$ ，函数 $y = l n (x - 1)$ 的定义域为 $M$ ，集合 $N = {x | x^{2} - x > 0}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $M \cap N = N$ B、 $M \cap (∁_{U} N) = \emptyset$ C、 $M \cup N = U$ D、 $M = (∁_{U} N)$

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3. $A$ 为 $△ A B C$ 的内角，且 $s i n A + c o s A = \frac{7}{12}$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、正三角形

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4. 《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中（方田）章给出的计算弧田面积的经验公式为：弧田面积 $= \frac{1}{2}$ （弦 $\times$ 矢 $+$ 矢 $^{2}$ ），弧田（如图阴影部分）由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长减去圆心到弦的距离，若有弧长为 $π$ ，半径为2的弧田，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是（）

A、1 B、2 C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} - 1$ D、3

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5. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{1}{2}}$ ， $b = {(\frac{3}{4})}^{- \frac{1}{2}}$ ， $c = \log_{4} 3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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6. 函数f(x)＝ $\frac{2^{x} + 2^{- x}}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若定义在 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 单调递减，则不等式 $f (x) + f (x - 2) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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8. 已知 $x > 0 ， y > 0 ， x + 2 y + 2 x y = 8$ ，则x+2y的最小值是（　　　）

A、3 B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{11}{2}$

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二、多选题

9. 对任意实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，在下列命题中，真命题是（）

A、“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”是“ $a > b$ ”的必要不充分条件 B、“ $a^{3} > b^{3}$ ”是“ $a > b$ ”的充要条件 C、“ $| a | > a$ ”是“ $a \leq 0$ ”的充分不必要条件 D、“ $a > b$ ， $c > b$ ”是“ $a > c$ ”的既不充分也不必要条件

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10. 下列说法正确的有（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、命题 $p ： \forall x \in R ， x^{2} > 0$ ，则 $\neg p ： \exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} < 0$ D、 $a < 5$ 是 $a < 3$ 的必要不充分条件

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11. 下列说法正确的有（）

A、若 $θ$ 是锐角，则 $θ$ 是第一象限角 B、“ $x = \frac{π}{2}$ ”是“ $s i n x = 1$ ”的充分不必要条件 C、若 $s i n θ > 0$ ，则 $θ$ 为第一或第二象限角 D、小圆中1弧度的圆心角比大圆中1弧度制的圆心角小

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} - 1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域是 $(- \infty ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 C、 $f (x)$ 在其定义域内单调递减 D、方程 $f (x) = x + 1$ 有且仅有两根

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三、填空题

13. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ ”的否定是命题.（填“真”或“假”）

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14. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (k - 2) x + 2 k - 1 = 0$ 有一个正根和一个负根，则 $k$ 的取值范围是.

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15. 已知 $α$ 是锐角，且 $s i n (α - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ．则 $s i n (α + \frac{π}{3}) =$ .

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16. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为 $110 m$ ，到达最高点时，距离地面的高度为 $120 m$ ，能看到方圆 $40 km$ 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 $30 \min$ .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到 $t \min$ 后距离地面的高度为 $H m$ ，则转到 $10 \min$ 后距离地面的高度为 $m$ ，在转动一周的过程中， $H$ 关于 $t$ 的函数解析式为.

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四、解答题

17. 已知 $f (x) = (\sqrt{3} s i n x - 3 c o s x) c o s x + \frac{3}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的周期和单调递增区间；

(2)、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的最大值和最小值.

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18. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足：当 $x < 0$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x} - 8 \times {(\frac{1}{2})}^{x} - 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [1 ， 3]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (w x + ϕ) (A > 0 ， w > 0)$ 上的一个最高点的坐标为 $(\frac{π}{2} ， \sqrt{2})$ ，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点 $(\frac{3 π}{2} ， 0)$ ，若 $ϕ \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式．

(2)、若对任意实数 $x$ ，不等式 $| f (x) - m | < 2$ 在 $[0 ， π]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x$ ，且 $f (0) = 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若在区间 $[1 ， 2]$ 上，不等式 $f (x) > 2 m x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = s i n x s i n (\frac{π}{2} - x) - \sqrt{3} c o s^{2} (\frac{π}{2} + x) + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、若存在 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ ，使得 $f (x) \geq a$ 成立，则求 $a$ 的取值范围；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x) + \frac{1}{3}$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 内的所有零点之和．

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2^{x} + 1} + k x$ 为偶函数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、求不等式 $f (l o g_{2} x) > f (2)$ 的解集.

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