广西壮族自治区百色市平果市2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷

试卷更新日期：2024-03-04 类型：开学考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $U = {x \in R | - 1 \leq x \leq 3} ， A = {x \in U | - 1 < x < 3} ， B = {x \in R | x_{}^{2} - 2 x - 3 = 0} ，$ $C = {x | - 1 \leq x < 3} ，$ 则有（）

A、 $∁_{U} A = B$ B、 $∁_{U} B = C$ C、 $∁_{U} A \supseteq C$ D、 $A \supseteq C$

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2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的函数是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = l n \frac{1}{x}$ C、 $y = 2^{x}$ D、 $y = x^{2}$

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3. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为[0，2]，则 $g (x) = \frac{f (2 x)}{x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $[0 ， 1) ∪ (1 ， 2]$ B、 $[0 ， 1) ∪ (1 ， 4]$ C、 $[0 ， 1)$ D、 $(1 ， 4]$

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4. 若命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 m x_{0} + m + 2 < 0$ ”为假命题，则m的取值范围是（）

A、 $- 1 \leq m \leq 2$ B、 $- 1 < m < 2$ C、 $m \leq - 1$ 或 $m \geq 2$ D、 $m < - 1$ 或 $m > 2$

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5. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2}}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 三个数 $a = 0 . 3^{2} ， b = l o g_{2} 0.3 ， c = 2^{0.3}$ 之间的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ . B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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7. 已知角 $α$ 的终边与单位圆的交于点 $P (- \frac{1}{2} ， y)$ ，则 $s i n α \cdot t a n α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\pm \frac{3}{2}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，对于任意的 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ， $f (- 1) = 0$ ，则 $x f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0) ∪ [1 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 4$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a b \leq 4$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 1$ C、 $2^{a} + 2^{b} \geq 16$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 8$

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10. 使不等式 $0 < \frac{1}{x} < 1$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $0 < x < \frac{1}{2}$ B、 $x > 1$ C、 $x > 2$ D、 $1 < x < 3$

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11. 已知 $θ \in (0 ， π)$ ， $s i n θ + c o s θ = \frac{1}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $θ \in (\frac{π}{2} ， π)$ B、 $c o s θ = - \frac{3}{5}$ C、 $t a n θ = - \frac{3}{4}$ D、 $s i n θ - c o s θ = \frac{7}{5}$

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12. 将函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $g (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 的周期为 $π$ B、 $g (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{3}$ C、 $g (x)$ 是奇函数 D、 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若 $c o s α = - \frac{3}{5}$ ，则 $c o s 2 α =$ ．

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14. 已知扇形弧长为 $20$ cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为cm².

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15. 已知幂函数 $f (x) = m x_{}^{m - \frac{1}{2}}$ 满足条件 $f (3 - a) > f (a)$ ，则实数a的取值范围是.

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 2 ， (x \geq 0) \\ \log_{2} (x + 2) + 1 ， (- 2 < x < 0) \end{array}$ ，若互不相等的实数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合 $A = {x | 2 - a \leq x \leq 2 + a}$ ， $B = {x | x \leq 1$ 或 $x \geq 4}$ ， $U = R$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ， $A \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 计算下列各式的值：

(1)、 $(- 3 \frac{3}{8})^{- \frac{2}{3}} + (0.002)^{- \frac{1}{2}} - 10 \times (\sqrt{5} - 2)^{- 1} + (\sqrt{2} - \sqrt{3})^{0}$ ；

(2)、 $(l o g_{3} 2 + l o g_{9} 2) (l o g_{4} 3 + l o g_{8} 3) - e^{l n \frac{5}{4}}$ ．

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19. 已知 $t a n (\frac{π}{4} + α) = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $t a n α$ 的值；

(2)、求 $\frac{s i n (2 α + 2 π) - s i n^{2} (\frac{π}{2} - α)}{1 - c o s (π - 2 α) + s i n^{2} α}$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < π)$ 的部分图像如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及对称中心；

(2)、先将 $f (x)$ 的图像纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后得到 $g (x)$ 的图像，求函数 $y = g (x)$ 在 $x \in [\frac{π}{12} ， \frac{3 π}{4}]$ 上的单调减区间.

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21. 新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病，2020上半年我国疫情严重，在党的正确领导下，疫情得到有效控制，为了发展经济，国家鼓励复工复产，某手机品牌公司响应国家号召投入生产某款手机，前期投入成本40万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为 $R (x)$ 万元，且满足关系式 $R (x) = {\begin{array}{l} 400 - k x ， 0 < x \leq 40 \\ \frac{8400}{x} - \frac{40000}{x^{2}} ， x > 40 \end{array}$ ，已知该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万元.

(1)、写出年利润 $W (x)$ （万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.

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22. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x}}{2^{x} + a}$ 是奇函数．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、证明： $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上为减函数；

(3)、若对于任意 $t \in [0 ， 1]$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 恒成立，求 $k$ 的范围．

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