备考2024年中考数学核心素养专题五 几何图形的的阅读理解

如图，直线$b\text{∥}c$ ， $a\perp b$ ， 试说明：$a\perp c$ ．

解：因为$a\perp b$ ，

根据“垂直的定义”，①

所以$\angle 1=90°$ ．

因为$b\text{∥}c$ ，

根据“同位角相等，两直线平行”，②

所以$\angle 1=\angle 2$ ，

根据“等量代换”，③

所以$\angle 2=\angle 1=90°$ ，

根据“垂直的定义”，④

所以$a\perp c$ ．

甲、乙两人后续证明的部分思路如下：

甲：如图1，先证明$\text{△}ADE\text{≌}\text{△}CFE$ ， 再推理得出四边形$DBCF$是平行四边形．

乙：如图2，连接$DC$ ， $AF$ ． 先后证明四边形$ADCF$ ， $DBCF$分别是平行四边形．

下列判断正确的是（  ）

【解决问题】如图2，在直角三角形$\text{A}\text{B}\text{C}$内部有一动点$\text{P}$ ， $\text{∠}\text{B}\text{A}\text{C}=90°$ ， $\text{∠}\text{A}\text{C}\text{B}=30°$ ， 连接$\text{P}\text{A}$ ， $\text{P}\text{B}$ ， $\text{P}\text{C}$ ， 若$\text{A}\text{B}=3$ ， 求$\text{P}\text{A}+\text{P}\text{B}+\text{P}\text{C}$的最小值 ．

请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：

已知：如图，$\angle C=90°$ ， $AB\text{∥}CD$ ， $AB=5$ ， $CD=11$ ， $AC=8$ ， 点$E$是$BD$的中点，那么$AE$的长为 ．

已知：$\text{△}ABC$ ， 依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．

步骤1：以C为圆心，$CA$为半径画弧；

步骤2：以B为圆心，$BA$为半径画弧，两弧交于点D；

步骤3：连接$AD$ ， 交$CB$延长线于点E．

下列叙述正确的是 ． （填写序号）

①$BE$垂直平分线段$AD$；②$AB$平分$\text{∠}EAC$；③$AC=CD$；④$S_{\text{△}ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CE$ ．

在数学课上，老师提出如下问题：

小军的作法如下：

老师说：“小军的作法正确.”

该上面尺规作图作出菱形AMBN的依据是

如图，正五边形ABCDE内接于 $\odot O$ ， $AB=2$ ，则对角线BD的长为.

阅读下列材料，并解答以下问题．

完成一件事有k类不同的方案，在第一类方案中有m₁个不同的方法，在第二类方案中有m₂个不同的方法，…，在第k类方案中有m_k个不同的方法，那么，完成这件事共有N=m₁+m₂+…+m_k种不同方法，这是分类加法计数原理．完成一件事有需要分成k个步骤，做第一步有m₁种不同方法，做第二步有m₂种不同方法，…，做第k步有m_k种不同方法，那么完成这件事共有N=m₁×m₂×…×m_k种不同的方法，这就是分步乘法计数原理．

（1）若完成沿图所示的街道从A点出发向B点行进这件事（规定：必须向北或向东走），会有种不同的走法．

（2）若完成沿图所示的街道从A点出发向B点行进，并禁止通过交叉点C这件事（规定：必须向北或向东走），有 种不同的走法．

根据对材料的理解解决以下问题∶

材料：三角形的内角平分线定理：

如图1，在$\text{Δ}ABC$中，$AD$平分$\text{∠}BAC$ ， 交$BC$于点$D$ ， 则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$ ．

下面是这个定理的部分证明过程．

证明：如图2，过$C$作$CE\text{∥}DA$ ， 交$BA$的延长线于点$E$ ．

如图1，若点$B$在点$A$的右侧，则$AB=\left|a-b\right|=b-a$ ， 类似的，在平面直角坐标系xOy中，点$A$的坐标为$\left(x_A\mathrm{，}{y}_A\right)$ ， 点$B$的坐标为$\left(x_B\mathrm{，}{y}_B\right)$ ，

如图2，若$AB\text{∥}x$轴，则$y_A=y_B\mathrm{，}AB=\left|x_A-x_B\right|=x_B-x_A$ ．

如图3，若$AB\text{∥}y$轴，则$x_A=x_B\mathrm{，}AB=\left|y_A-y_B\right|=y_A-y_B$ ．

如图4，例如$A\left(1\mathrm{，}2\right)\mathrm{，}B\left(3\mathrm{，}5\right)\mathrm{，}AC\perp BC$ ， 则$C\left(3\mathrm{，}2\right)$ ．

请根据以上阅读材料，解决下面的问题：

小明遇到一个问题：如图1，在▱ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G ． 如果$\frac{AF}{EF}$＝3，求$\frac{CD}{CG}$的值．他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H ， 那么可以得到△BAF∽△HEF ． 请回答：

材料：等宽的纸条数根．

折法：如图1，将两根等宽的纸条对折，穿插后重叠部分为正方形．

如图2，取一根等宽的纸条打个结，拉紧，重叠部分即为正五边形．

如图3，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得正六边形．

如图4，把图2的纸条再打一个结，拉紧，重叠部分即为正七边形．

问题：

人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．

我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．

下面是弦切角定理的部分证明过程：

证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．

如图②，AB与⊙O相切于点A ， 当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D ， 在$\widehat{AC}$上任取一点E ， 连接EC ， ED ， EA ， 则∠CED＝∠CAD．

任务：

小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b=$\sqrt{3}$ ， AB=c=2，那么$\frac{a}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}A}$=$\frac{b}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}B}$=2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着$\frac{a}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}A}$=$\frac{b}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}B}$=$\frac{c}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}C}$的关系．

这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：

【材料阅读】平面内两点M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN＝$\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2}$ ．

例如．如图1，M（3，1），N（1，-2），则$MN=\sqrt{{\left(3-1\right)}^2+{\left(1+2\right)}^2}=\sqrt{13}$ ．

【直接应用】

如图1，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置；如图2，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置．像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．

用数形结合的方法，可以探究$q+q^2+q^3+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+q^n+\text{…}$的值，其中$0<q<1$ ．

例求$\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+\text{⋯}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n+\text{⋯}$的值．

方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知

$\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+\text{⋯}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n+\text{⋯}$的结果等于该正方形的面积，

即$\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+\text{⋯}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n+\text{⋯}=1$ ．

方法2：借助函数$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$和$y=x$的图象，观察图②可知

$\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+\text{⋯}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n+\text{⋯}$的结果等于$a_1$ ， $a_2$ ， $a_3$ ， …，$a_n$…等各条竖直线段的长度之和，

即两个函数图象的交点到$x$轴的距离．因为两个函数图象的交点$\mathrm{(}1\mathrm{，}1\mathrm{)}$到$x$轴的距为1，

所以，$\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+\text{⋯}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n+\text{⋯}=1$ ．

【实践应用】

如图2，$P$是线段$AB$上的一动点（不与点$A$ ， $B$重合），点$C$ ， $D$分别是线段$AP$ ， $BP$的中点，以$AC$ ， $CD$ ， $DB$为边分别在$AB$的同侧作等边三角形$\text{△}ACE$ ， $\text{△}CDF$ ， $\text{△}DBG$ ， 连接$PE$和$PG$ ．

根据上述材料，请你解决以下问题：