【培优卷】2024年北师大版数学八（下）3.2图形的旋转同步练习

试卷更新日期：2024-03-03 类型：同步测试

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一、选择题

1. 网格图中所给图形绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，旋转 $n$ 次后可以与原图形重合，则 $n$ 的最小值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣2，3），B（2，3），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（　　）

A、（﹣2，7） B、（7，2） C、（2，﹣7） D、（﹣7，﹣2）

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3. 如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0），A（－2 $\sqrt{3}$ ， 2），对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第74次旋转后点P的落点坐标为（）

A、(1， $\sqrt{3}$ ) B、（2，0） C、(1，- $\sqrt{3}$ ) D、( $\sqrt{3}$ ， -1)

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4. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(4 ， 0)$ ．线段 $O A$ 以每秒旋转90°的速度，绕点 $O$ 沿顺时针方向 $y$ 连续旋转，同时，点 $P$ 从点 $O$ 出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段 $O A$ 上，按照 $O \to A \to O \to A$ …的路线循环运动，则第2023秒时点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， 0)$ B、 $(1 ， 0)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(0 ， 1)$

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5. 对于题目：如图1，平面上，正方形内有一个两直角边长分别为2，5的直角三角形，它可以在正方形的内部及边界通过“移转（即平移或旋转）”的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数值n．甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数值n．

甲：如图2，当x为直角三角形斜边长时就可移转过去，结果取 $n = 6$ ．

乙：如图3，当x为直角三角形的两条直角边之和的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍时就可移转过去，结果取 $n = 5$ ．

下列说法正确的是（）

A、甲的思路对，但他的n值错 B、甲的思路和他的n值都对 C、乙的思路对，但他的n值错 D、甲和乙的思路都错

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6. 如图，点P是在正 $△$ ABC内一点， $P A = 3$ ， $P B = 4$ ， $P C = 5$ ，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段 $A P^{'}$ ，连接 $P^{'} P$ ， $P^{'} C$ .下列结论中正确的是（）

① $△ A P^{'} C$ 可以由 $△ A P B$ 绕点A逆时针旋转60°得到；②线段 $P P^{'} = 3$ ；③四边形 $A P C P^{'}$ 的面积为 $6 + 3 \sqrt{3}$ ；④ $S_{△ A P B} + S_{△ B P C} = 6 + 4 \sqrt{3}$ .

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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7. 在平面直角坐标系中，点A（-3，3），B（-4，1），C（-2，1），点M（2，m）绕坐标原点O逆时针旋转90°后，恰好落在△ABC内部（不包括边界），则m的取值范围为（）

A、 $\frac{5}{2}$ <m< $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{8}{3}$ <m< $\frac{11}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ <m< $\sqrt{13}$ D、 $\frac{2 \sqrt{11}}{3}$ <m< $\frac{15}{4}$

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8. 将边长为3的等边三角形 $A B C$ 和另一个边长为1的等边三角形 $D E F$ 如图放置（EF在 $A B$ 边上，且点E与点B重合）．第一次将 $△ D E F$ 以点F为中心旋转至 $△ E_{1} F D_{1}$ ，第二次将 $△ E_{1} F D_{1}$ 以点 $D_{1}$ 为中心旋转至 $△ F_{1} D_{1} E_{2}$ 的位置，第三次将 $△ F_{1} D_{1} E_{2}$ 以点 $E_{2}$ 为中心旋转至 $△ D_{2} E_{2} F_{2}$ 的位置，…，按照上述办法旋转，直到 $△ D E F$ 再次回到初始位置时停止，在此过程中 $△ D E F$ 的内心O点运动轨迹的长度是（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{8}{3} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$

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二、填空题

9. 如图，点A ， C分别是y轴，x轴正半轴上的动点， $A C = 1$ ，将线段 $A C$ 绕点A顺时针旋转60°得到线段 $A B$ ，则 $O B$ 的最小值是．

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10. 如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 与x轴，y轴分别相交于 $A ， B$ 两点，若将直线 $A B$ 绕点A旋转 $45 °$ 与y轴交于点C ，则点C的坐标为．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $B C = 16$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上，且 $B D = A B$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $D$ 旋转，使点 $A$ 的对应点 $E$ 落在 $△ A B C$ 的边上，则 $B E$ 的长为．

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12. 如图1，一款暗插销由外壳AB ，开关CD ，其工作原理如图2，开关CD绕固定点O转动，此时连接点D在线段AB上，如D₁位置．开关CD绕点O顺时针旋转180°后得到C₂D₂ ，锁芯弹回至D₂E₂位置（点B与点E₂重合），此时插销闭合如图4．已知CD＝74mm ， AD₂-AC₁＝50mm ，则BE₁＝mm ．

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三、作图题

13. 如图，在下列 $8 \times 8$ 的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点， $△ A B C$ 的顶点的坐标分别为 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ， $C (4 ， 2)$ .

⑴直接写出 $△ A B C$ 的形状；

⑵要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转角度 $2 α$ 得到 $△ A_{1} B C_{1}$ ，其中 $α = ∠ A B C$ ， $A$ ， $C$ 的对应点分别为 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ，请你完成作图；

⑶在网格中找一个格点 $G$ ，使得 $C_{1} G ⊥ A B$ ，并直接写出 $G$ 点的坐标；

⑷作点 $C_{1}$ 关于 $B C$ 的对称点 $D$ .

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四、解答题

14. 点 $O$ 为直线 $A B$ 上一点，过点 $O$ 作射线 $O C$ ，使 $∠ B O C = 65 °$ ，将一直角三角板的直角顶点放在点 $O$ 处．

(1)、如图1，将三角板 $M O N$ 的一边 $O N$ 与射线 $O B$ 重合时，则 $∠ M O C =$ $°$ ；

(2)、如图2，将三角板 $M O N$ 绕点 $O$ 逆时针旋转一定角度，此时 $O C$ 是 $∠ M O B$ 的角平分线，求旋转角 $∠ B O N$ 的度数和 $∠ C O N$ 的度数；

(3)、将三角板 $M O N$ 绕点 $O$ 逆时针旋转过程中，当 $∠ N O C = \frac{1}{3} ∠ A O M$ 时，直接写出 $∠ N O C$ 的度数．

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15. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
如下图，将两个完全相同的三角形纸片 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 重合放置，其中 $∠ C = 90 °$ ．若固定 $△ A B C$ ，将 $△ D E C$ 绕点C旋转．


(1)、当 $△ D E C$ 绕点C旋转到点D恰好落在 $A B$ 边上时，如下图．

①当 $∠ B = ∠ E = 40 °$ 时，求此时旋转角的大小；
②当 $∠ B = ∠ E = α$ 时，直接写出此时旋转角的大小(用含α的式子表示)．

(2)、当 $△ D E C$ 绕点C旋转到如下图所示的位置时，小组长猜想： $△ B D C$ 的面积与 $△ A E C$ 的面积相等，试判断小组长的猜想是否正确，若正确，请你证明小组长的猜想．若不正确，请说明理由．


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16. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边 $Δ A B C$ 的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE.

(1)、【猜想证明】
试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；

(2)、【探究应用】
如图2，点D为等边 $Δ A B C$ 内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分 $∠ A E C$ ；

(3)、【拓展提升】
如图3，若 $Δ A B C$ 是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE.点D在运动过程中， $Δ D E C$ 的周长最小值=（直接写答案）

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【培优卷】2024年北师大版数学八（下）3.2图形的旋转 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、作图题

四、解答题

【培优卷】2024年北师大版数学八（下）3.2图形的旋转同步练习