备考2024年浙江中考数学一轮复习专题28.2锐角三角函数真题模拟集训

试卷更新日期：2024-03-03 类型：一轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，已知∠AOB ，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C ， D两点，分别以点C ， D为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P ，连结OP ，过点P作直线PE∥OA ，交OB于点E ，过点P作直线PF∥OB ，交OA于点F ．若∠AOB＝60°，OP＝6cm ，则四边形PFOE的面积是（　　）

A、 $12 \sqrt{3}$ cm² B、 $6 \sqrt{3}$ cm² C、 $3 \sqrt{3}$ cm² D、 $2 \sqrt{3}$ cm²

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2. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆 $B C = \sqrt{2} a ， A B = b ， A B$ 的最大仰角为 $α$ .当 $∠ C = 4 5^{°}$ 时，则点 $A$ 到桌面的最大高度是（）

A、 $a + \frac{b}{c o s α}$ B、 $a + \frac{b}{s i n α}$ C、 $a + b c o s α$ D、 $a + b s i n α$

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3. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（ $△ D A E ， △ A B F ， △ B C G ， △ C D H$ ）和中间一个小正方形 $E F G H$ 拼成的大正方形 $A B C D$ 中， $∠ A B F > ∠ B A F$ ，连接 $B E$ ．设 $∠ B A F = α ， ∠ B E F = β$ ，若正方形 $E F G H$ 与正方形 $A B C D$ 的面积之比为 $1 ： n ， t a n α = t a n^{2} β$ ，则 $n =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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4. 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（）

A、cosθ(1+cosθ) B、cosθ(1+sinθ) C、sinθ(1+sinθ) D、sinθ(1+cosθ)

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5. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝ $\frac{1}{4}$ ，则FG的长是（）

A、3 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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6. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $O A B C$ .若 $A B = B C = 1$ . $∠ A O B = α$ ，则 $O C^{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{\sin^{2} α} + 1$ B、 $\sin^{2} α + 1$ C、 $\frac{1}{\cos^{2} α} + 1$ D、 $\cos^{2} α + 1$

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7. 在△ABC中，AB=12 $\sqrt{2}$ ， AC=13，cos∠B= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则BC边长为（　　）

A、7 B、8 C、8或17 D、7或17

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8. 在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tanA＝ $\frac{1}{2}$ ，则sinB＝（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $D E ⊥ A C$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，点 $F$ 在 $C D$ 上，连接 $B F$ 分别交 $D E$ ， $A C$ 于点 $G$ ， $H$ ．若 $B G = G F = D F$ ，则 $s i n ∠ F B C$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$

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10. 如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若 $B C = 50$ 米，则AB的长等于（）

A、 $\frac{50}{s i n 35 °} - \frac{50}{c o s 35 °}$ B、 $\frac{50}{s i n 35 °} + \frac{50}{c o s 35 °}$ C、 $50 (c o s 35 ° - s i n 35 °)$ D、 $50 (c o s 35 ° + s i n 35 °)$

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上.则斜坡AB的水平宽度BC为米.

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $B C = \frac{2}{3} A B$ ．将矩形 $A B C D$ 沿 $G F$ 折叠，使点A落在 $B C$ 边上的E处，得到四边形 $F E P G$ ，连接 $A E ， P C$ ，若 $t a n ∠ C G P = \frac{3}{4}$ ， $G F = 4 \sqrt{10}$ ，则 $\frac{A E}{F G} =$ ， $S_{△ P E C} =$ ．

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13. 把量角器和含 $30 °$ 角的三角板按如图1方式摆放，将其抽象为图2：若 $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点E， $O C = 2 cm$ ， $∠ B O F = 120 °$ ．则阴影部分的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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14. 如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m>n且满足am-bn=2．an+bm=4．

(1)、若a=3，b=4，则图1阴影部分的面积是；

(2)、若图1阴影部分的面积为3．图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是。

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15. 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 OA、OB ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 CD ，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒 EF 与影子 FG 的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米．

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16. 图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且 $O A = O B$ ，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得 $F A = 54 cm$ ， $E B = 45 cm$ ， $A B = 48 cm$ .

(1)、椅面CE的长度为cm.

(2)、如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角 $∠ C H D$ 的度数达到最小值 $30 °$ 时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）.（参考数据： $\sin 15 ° \approx 0.26$ ， $\cos 15 ° \approx 0.97$ ， $\tan 15 ° \approx 0.27$ ）

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三、解答题（共5题，共32分）

17. 教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC， $∠ B A C = 90 °$ ．黑板上投影图像的高度 $A B = 120 c m$ ， CB与AB的夹角 $∠ B = 33.7 °$ ，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据： $s i n 33.7 ° \approx 0.55$ ， $c o s 33.7 ° \approx 0.83$ ， $t a n 33.7 ° \approx 0.67$ ）

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18. 如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A-D-C．已知DC⊥BC，AB⊥BC．∠A=60°，AB=11m，CD=4m．求管道A-D-C的总长.

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19. 如图1是一种可折叠的台灯，图2是台灯的结构图， $A C$ 是可以绕点A旋转的支架， $A B$ 是可以绕点B旋转的支架，C为灯泡的位置．量得 $A B = 10 c m ， A C = 20 c m$ ，当 $A B ⊥ B F$ ， $∠ C A B = 127 °$ 时，求点C到 $B F$ 的距离．（参考数据， $s i n 37 ° \approx 0.6$ ， $c o s 37 ° \approx 0.8$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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20. 若小红的眼睛离地面的距离为 $1.7$ 米，在一处用眼睛看篮球框，测得仰角 $30 °$ ，继续向正前方走 $1.6$ 米再看篮球框，测得仰角 $60 °$ ，问篮球框距地面的高度是多少米？

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21. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37° ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．

(1)、求∠BAD的度数．

(2)、求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈ $\frac{3}{5}$ ，cos37°≈ $\frac{4}{5}$ ，tan37°≈ $\frac{3}{4}$ ，tan84°≈ $\frac{19}{2}$ ）

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四、实践探究题（共3题，共34分）

22. 如图1， $△ A B C$ 中， $B C$ 边上的中线 $A M = A C$ ，延长 $A M$ 交 $△ A B C$ 的外接圆于点 $D$ ，过点 $D$ 作DE $∥$ BC交圆于点 $E$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ，连结 $C E$ .

(1)、【特殊尝试】若 $∠ A C B = 60^{\circ}$ ， $B C = 4$ ，求 $M D$ 和 $D F$ 的长；

(2)、【规律探索】
①求证： $B C = 2 C E$ ；

②设 $tan ∠ A C B = x$ ， $\frac{F B}{A B} = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式：

(3)、【拓展应用】
如图2，作 $N C ⊥ A C$ 交线段 $A D$ 于 $N$ ，连结 $E N$ ，当 $△ A B C$ 的面积是 $△ C E N$ 面积的6倍时，求 $tan ∠ A C B$ 的值.

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23. 问题：如何设计“倍力桥”的结构？

图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁 $b$ ，使得横梁不能移动，结构稳固.

图2是长为 $l (c m)$ ，宽为 $3 c m$ 的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为 $1 c m$ 的半圆.圆心分别为 $O_{1} ， O_{2} ， O_{3} ， O_{1} M = O_{1} N ， O_{2} Q = O_{3} P$ $= 2 c m$ ，纵梁是底面半径为 $1 c m$ 的圆柱体.用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计.

探究1：图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H₁ ， H₂是横梁侧面两边的交点.测得AB=32cm，点C到AB的距离为12cm.试判断四边形CDEH₁的形状，并求 $l$ 的值.

探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.

①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形 $H_{1} H_{2} H_{3} … H_{12}$ ，求 $l$ 的值；

②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n≥6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形 $H_{1} H_{2} H_{3} … H_{n}$ 的周长.

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24. 根据背景素材，探索解决问题.

测算发射塔的高度
背景素材	某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1）.他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示.

	经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量﹑换算就能计算发射塔的高度.
问题解决
任务1	分析规划	选择两个观测位置：点 ▲ 和点 ▲ 。
	获取数据	写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离.
任务2	推理计算	计算发射塔的图上高度MN.
任务3	换算高度	楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度.

注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm.