备考2024年浙江中考数学一轮复习专题27.2图形的相似真题模拟集训

试卷更新日期：2024-03-02 类型：一轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为 $\frac{1}{2}$ ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

A、（﹣2，1） B、（﹣8，4） C、（﹣8，4）或（8，﹣4） D、（﹣2，1）或（2，﹣1）

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2. 如图，在直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (1 ， 2) ， B (2 ， 1) ， C (3 ， 2)$ ，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与 $△ A B C$ 的位似比为2的位似图形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则顶点 $C^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(4 ， 2)$ C、 $(6 ， 4)$ D、 $(5 ， 4)$

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3. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD=1．则CE的长是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、1

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4. 将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片 $A B C D$ ，其中 $∠ A = 90 °$ ， $A B = 9$ ， $B C = 7$ ， $C D = 6$ ， $A D = 2$ ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）

A、 $\frac{25}{2}$ B、 $\frac{45}{4}$ C、10 D、 $\frac{35}{4}$

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5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2 ， ∠ B A C = 108 °$ ，点P在 $B C$ 边上，若 $A P$ 是 $∠ B A C$ 的三等分线，则 $B P$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ 或5 B、 $\sqrt{5} + 1$ 或 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{5} - 1$ 或2 D、 $\sqrt{5} + 1$ 或2

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7. 如图，树 $A B$ 在路灯 $O$ 的照射下形成投影 $A C$ ，若树离 $A B = 2 m$ ，树影 $A C = 3 m$ ，树与路灯的水平距离 $A P = 4.5 m$ ，则路灯的高度 $O P$ 是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上的点（不与点 $B ， C$ 重合）.过点 $D$ 作 $D E / / A B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ；过点 $D$ 作 $D F / / A C$ 交 $A B$ 于点 $F$ . $N$ 是线段 $B F$ 上的点， $B N =$ $2 N F$ ； $M$ 是线段 $D E$ 上的点， $D M = 2 M E$ .若已知 $△ C M N$ 的面积，则一定能求出（）

A、 $△ A F E$ 的面积 B、 $△ B D F$ 的面积 C、 $△ B C N$ 的面积 D、 $△ D C E$ 的面积

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以其三边为边向外作正方形，连结 $C F$ ，作 $G M ⊥ C F$ 于点M， $B J ⊥ G M$ 于点J， $A K ⊥ B J$ 于点K，交 $C F$ 于点L．若正方形 $A B G F$ 与正方形 $J K L M$ 的面积之比为5， $C E = \sqrt{10} + \sqrt{2}$ ，则 $C H$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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10. 如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、 $\sqrt{17}$

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二、填空题（每空3分，共24分）

11. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a}{a + b}$ 的值是．

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12.
如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， E为 $A B$ 边上一点，以 $A E$ 为直径的半圆O与 $B C$ 相切于点D，连接 $A D$ ， $B E = 3 ， B D = 3 \sqrt{5}$ ． P是 $A B$ 边上的动点，当 $△ A D P$ 为等腰三角形时， $A P$ 的长为．

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14. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A ，再用皮尺分别测量BF ， DF ， EF ，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D ， EF⊥BD于点F ， AB⊥BD于点B ， BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是米．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ ， $E$ 分别是边 $B C$ ， $A B$ 上的点，且 $∠ B = ∠ A D E = ∠ C A D$ ．记 $△ A B C$ ， $△ A C D$ ， $△ B D E$ 的周长分别是 $t$ ， $m$ ， $n$ ．

(1)、若 $A B = A C = 2$ ，则 $m - n$ 的值是．

(2)、求 $\frac{m + n}{t}$ 的最大值是．

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16. 希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近点A，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得 $\frac{P N}{A N} = \frac{Q M}{B M} = k$ ，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．

(1)、 $C D - E F - G J =$ km．

(2)、 $k$ = ．

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三、作图题（共9分）

17. 如图在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上.（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）

(1)、在图1中画出△ABC的中线AD；

(2)、在图2中画线段CE，点E在AB上，使得 $S_{△ A C E}$ ： $S_{△ B C E}$ ＝2：3；

(3)、在图3中画出△ABC的外心点O.

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四、解答题（共5分，共35分）

18. 在① $D P \cdot P B = C P \cdot P A$ ， ② $∠ B A P = ∠ C D P$ ， ③ $D P \cdot A B = C D \cdot P B$ 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明.
问题：如图，四边形 $A B C D$ 的两条对角线交于P点，若 ▲ （填序号）
求证： $△ A B P ∼ △ D C P$ .

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19. 在边长为 $1$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A D$ 上（不与点 $A$ ， $D$ 重合），射线 $B E$ 与射线 $C D$ 交于点 $F$ ．

(1)、若 $E D = \frac{1}{3}$ ，求 $D F$ 的长．

(2)、求证： $A E \cdot C F = 1$ ．

(3)、以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径画弧，交线段 $B E$ 于点 $G$ ．若 $E G = E D$ ，求 $E D$ 的长．

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20. 如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在BC上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB-∠BFD=∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE=FG，连结BD，DG．设∠ACB=α．

(1)、用含α的代数式表示∠BFD．

(2)、求证：△BDE≌△FDG．

(3)、如图2，AD为⊙O的直径．
①当 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为2时，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长．

②当OF：OE=4：11时，求cosα的值．

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21. 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，动点P从点C出发，以1个单位每秒速度，沿线段CD运动，同时，动点Q从点B出发，以2个单位每秒速度，沿射线BC运动，当点P到达点D时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒．

(1)、请用含t的代数式表示线段CQ的长．

(2)、如图2，AC与PQ交于点M，当 $B Q = 5 C Q$ 时，求△PMC与△QMC的面积之比．

(3)、在点P，Q的整个运动过程中，直线AC上是否存在点E，使以PE为直角边的Rt△PQE，与以点P，Q，C三点为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，求t的值．

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22. 如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片 $A B$ 投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像 $C D$ .已知 $A B = 0.3 d m$ ，胶片与屏幕的距离 $E F$ 为定值，设点光源到胶片的距离 $O E$ 长为x（单位： $d m$ ），CD长为y（单位： $d m$ ），当 $x = 6$ 时， $y = 4.3$ .

(1)、求 $E F$ 的长.

(2)、求y关于x的函数解析式，在图 $2$ 中画出图像，并写出至少一条该函数性质.

(3)、若要求 $C D$ 不小于 $3 d m$ ，求 $O E$ 的取值范围.

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五、实践探究题（共2题，共22分)

23.

(1)、【特例感知】
如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD ，过点D作DM⊥PD ，交BC的延长线于点M ．求证：△DAP≌△DCM ．

(2)、【变式求异】
如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB ，交AC于点Q ，点P在边AB的延长线上，连结PQ ，过点Q作QM⊥PQ ，交射线BC于点M ．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB ，求 $\frac{P Q}{Q M}$ 的值．

(3)、【拓展应用】
如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A ， C重合），连结PQ ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC ， ∠PQM的边QM交射线BC于点M ．若AC＝mAB ， CQ＝nAC（m ， n是常数），求 $\frac{P Q}{Q M}$ 的值（用含m ， n的代数式表示）．

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24. 定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“师梅四边形”，这条对角线称为“师梅线”.我们熟知的平行四边形就是“师梅四边形”.

(1)、如图1， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $B D = 4 \sqrt{2}$ ， $B C = 10$ .四边形 $A B C D$ 是被 $B D$ 分割成的“师梅四边形”，求 $A B$ 长；

(2)、如图2，平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的点，且 $O A = 3$ ， $O B = 2$ ，若点C是直线 $y = x$ 在第一象限上的一点，且 $O C$ 是四边形 $O A C B$ 的“师梅线”，求四边形 $O A C B$ 的面积.

(3)、如图3，圆内接四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 6 0^{°}$ 点E是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连接 $B E$ 交 $C D$ 于点F，连接 $A F$ ， $∠ D A F = 3 0^{°}$ ， ①求证：四边形 $A B C F$ 是“师梅四边形”；②若 $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求线段 $B F$ 的长.

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一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空3分，共24分）

三、作图题（共9分）

四、解答题（共5分，共35分）

五、实践探究题（共2题，共22分)

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