备考2024年浙江中考数学一轮复习专题21.2四边形真题模拟集训

试卷更新日期：2024-03-02 类型：一轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列命题正确的是（）

A、对角线相等的四边形是平行四边形 B、对角线相等的四边形是矩形 C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

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2. 已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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3. 用四个全等的直角三角形无空隙、无重叠地拼成一个菱形，该菱形的边长的平方等于两条对角线的积，则这四个直角三角形的最小内角是（）

A、60° B、45° C、30° D、15°

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4. 如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，则AC的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 如图，已知∠AOB ，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C ， D两点，分别以点C ， D为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P ，连结OP ，过点P作直线PE∥OA ，交OB于点E ，过点P作直线PF∥OB ，交OA于点F ．若∠AOB＝60°，OP＝6cm ，则四边形PFOE的面积是（　　）

A、 $12 \sqrt{3}$ cm² B、 $6 \sqrt{3}$ cm² C、 $3 \sqrt{3}$ cm² D、 $2 \sqrt{3}$ cm²

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $O$ 为对角线 $B D$ 的中点， $∠ A B D = 6 0^{°}$ .动点 $E$ 在线段 $O B$ 上，动点 $F$ 在线段 $O D$ 上，点 $E ， F$ 同时从点 $O$ 出发，分别向终点 $B ， D$ 运动，且始终保持 $O E = O F$ .点 $E$ 关于 $A D ， A B$ 的对称点为 $E_{1} ， E_{2}$ ；点 $F$ 关于 $B C ， C D$ 的对称点为 $F_{1} ， F_{2}$ .在整个过程中，四边形 $E_{1} E_{2} F_{1} F_{2}$ 形状的变化依次是（）

A、菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B、菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C、平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D、平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形

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7. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ ， $F$ 是对角线 $B D$ 上的动点，且 $B E = D F$ ， $M$ ， $N$ 分别是边 $A D$ ，边 $B C$ 上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 $M E N F$ ；
②存在无数个矩形 $M E N F$ ；
③存在无数个菱形 $M E N F$ ；
④存在无数个正方形 $M E N F$ ．其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM= $\frac{2}{3}$ MF.其中正确结论的是（）

A、①③④ B、②④⑤ C、①③④⑤ D、①③⑤

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9. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若 $G O = G P$ ，下列结论：① $∠ G O P = ∠ B C P$ ，② $B C = B P$ ，③ $B G ： P G = \sqrt{2} + 1$ ，④ $D P = P O$ .正确的是（）

A、②③④ B、①③④ C、①②④ D、①②③

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10. 如图，已知矩形纸片ABCD，其中 $A B = 3 ， B C = 4$ ，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②；

第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；

第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．
则DH的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{9}{5}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，矩形ABCD中， $A B = 4$ ， $A D = 6$ ．在边AD上取一点E，使 $B E = B C$ ，过点C作 $C F ⊥ B E$ ，垂足为点F，则BF的长为．

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12. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P是线段BF上一点，则阴影部分的面积为cm²

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13. 如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，AE为∠BAD的平分线，F为AE上一动点，点M为DF的中点，连接BM，则BM的最小值是.

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14. 如图，在菱形 ABCD中，∠A=60° ，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M 处，折痕分别与边 AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．

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15. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE ，将△ABE沿着BE翻折得到△FBE ， EF交BC于点H ，延长BF ， DC相交于点G ，若DG＝8，BC＝12，则AB＝， EH＝．

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16. 如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD ，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF ， ③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH ， ⑤是正方形EFGH ，直角顶点E ， F ， G ， H分别在边BF ， CG ， DH ， AE上．

(1)、若EF＝3cm ， AE+FC＝11cm ，则BE的长是 cm ．

(2)、若 $\frac{D G}{G H} = \frac{5}{4}$ ，则tan∠DAH的值是．

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三、作图题（共6分）

17. 分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．

(1)、如图①，在 $6 \times 6$ 的方格纸中，点 $A ， B ， C$ 都在格点上，在图①中找一个格点D，使以点 $A ， B ， C ， D$ 为顶点的四边形是平行四边形；

(2)、如图②，已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $B D$ 为对角线，点P为 $A B$ 上任意一点，请仅用无刻度的直尺在 $C D$ 上找出另一点Q，使 $A P = C Q$ ．

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四、解答题（共5题，共38分）

18. 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD.求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

小惠：

证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，

∴AC垂直平分BD．

∴AB＝AD，CB＝CD，

∴四边形ABCD是菱形．

小洁：

这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．

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19. 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD ．

[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．

[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M ．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．

[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P ， N（如图3），发现线段DN ， MN ， PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

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20. 正方形ABCD的边长为1，连接BD ，过点C作BD的平行线CE ， BE与CD相交于点F ，过点D作DH⊥BE ．

(1)、求△BDE的面积；

(2)、当∠CBE＝15°时，求BE的长；

(3)、若△EFC的面积记为S₁ ， △DFH的面积记为S₂ ， △DBF的面积记为S₃ ， △BFC的面积记为S₄ ， $\frac{C F}{C D} = k$ ，请用k的代数式表示 $\frac{S_{1} \cdot S_{2}}{S_{3} \cdot S_{4}}$ 的值．

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21. 如图1，点 $O$ 为矩形ABCD的对称中心， $A B = 4 ， A D = 8$ ，点 $E$ 为AD边上一点 $(0 < A E < 3)$ ，连结EO并延长，交BC于点 $F$ .四边形ABFE与 $A^{^{'}} B^{^{'}} F E$ 关于EF所在直线成轴对称，线段 $B^{^{'}} F$ 交AD边于点 $G$ 。

(1)、求证： $G E = G F$ .

(2)、当 $A E = 2 D G$ 时，求AE的长.

(3)、令AE=a，DG=b.
①求证：(4-a)(4-b)=4.

②如图2，连结 $O B^{^{'}} ， O D$ ，分别交 $A D ， B^{^{'}} F$ 于点H，K.记四边形OKGH的面积为 $S_{1}$ ， $△ D G K$ 的面积为 $S_{2}$ .当 $a = 1$ 时，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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22. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2 $\sqrt{5}$ ，AB＝4 $\sqrt{5}$ ，DM⊥AC于点M ，在对角线AC上取一点N ，使得2CN＝3AM ，连接DN并延长交BC于点E ， F是AB上一点，连接EF ， MF ．当点P从点E匀速运动到点F时，点Q恰好从点M匀速运动到点N ．

(1)、求AM ， CE的长．

(2)、若EF∥AC ，记EP＝x ， AQ＝y ．
①求y关于x的函数表达式．

②连接PQ ，当直线PQ平行于四边形DEFM的一边时，求所有满足条件的x的值．

(3)、在运动过程中，当直线PQ同时经过点B和D时，记点Q的运动速度为v₁ ，记点P的运动速度为v₂ ，求 $\frac{v_{1}}{v_{2}}$ 的值．

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五、实践探究题（共3题，共28分）

23.

(1)、【特例感知】
如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD ，过点D作DM⊥PD ，交BC的延长线于点M ．求证：△DAP≌△DCM ．

(2)、【变式求异】
如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB ，交AC于点Q ，点P在边AB的延长线上，连结PQ ，过点Q作QM⊥PQ ，交射线BC于点M ．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB ，求 $\frac{P Q}{Q M}$ 的值．

(3)、【拓展应用】
如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A ， C重合），连结PQ ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC ， ∠PQM的边QM交射线BC于点M ．若AC＝mAB ， CQ＝nAC（m ， n是常数），求 $\frac{P Q}{Q M}$ 的值（用含m ， n的代数式表示）．

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24. 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD.

(1)、[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上.若AB＝1，求BC的长.

(2)、[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作 $D^{'} M / / A C^{'}$ 交BD于点M，线段D′M与DM相等吗？请说明理由.

(3)、[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.

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25. 如图，

(1)、【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.
求证： $△ B C E ≌ △ C D G$ .

(2)、【运用】
如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H.若 $\frac{H D}{H F} = \frac{4}{5}$ ， $C E = 9$ ，求线段DE的长.

(3)、【拓展】
将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 $\frac{A B}{B C} = k$ ， $\frac{H D}{H F} = \frac{4}{5}$ ，求 $\frac{D E}{E C}$ 的值（用含k的代数式表示）.

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