备考2024年浙江中考数学一轮复习专题20.1三角形（2）基础夯实

试卷更新日期：2024-03-02 类型：一轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，AB＝AD ，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD＝a（0°＜a＜180°），则∠ACB的度数为（）

A、45° B、a﹣45° C、 $\frac{1}{2}$ a D、90°﹣ $\frac{1}{2}$ a

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2. △DEF和△GHK均为等边三角形，将它们按如图1、图2的方式放置在等边三角形ABC内，若求图1、图2中的阴影部分面积的和，则只需知道（）

A、△BDE的面积 B、四边形BEFD的面积 C、△ABC面积 D、△DGH的面积

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3. 在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1： $\sqrt{2}$ ： $\sqrt{2}$ ；其中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）

A、60 $\sqrt{3} +$ 8 B、60 $\sqrt{2} +$ 8 C、64 D、68

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5. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S_△BDE的最大值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 下列几组数中，为勾股数的是（　　）

A、 $\frac{3}{5}$ ， $\frac{4}{5}$ ， 1 B、3，4，6 C、5，12，13 D、0.9，1.2，1.5

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7. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.在如图所示的弦图中，四边形ABCD和EFGH都是正方形， $△ A B F ， △ B C G ， △ C D H ， △ D A E$ 是四个全等的直角三角形.若 $E F = 7 ， D E = 12$ ，则正方形ABCD的边长是（）

A、13 B、28 C、48 D、52

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8.
如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿长方体表面爬行到C′处，若长方体的长AB=4cm，宽BC=3cm，高BB′=2cm，则蚂蚁爬行的最短路径是（　　）

A、 $\sqrt{53}$ cm B、 $\sqrt{45}$ cm C、 $\sqrt{41}$ cm D、7cm

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9. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°.动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动.在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（）

A、直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B、等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C、直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D、等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形

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10. 如图，已知 $∠ B A C = 60 °$ ， AB=4，AC=6，点P在 $Δ A B C$ 内，将 $Δ A P C$ 绕着点A逆时针方向旋转60°得到 $Δ A E F$ .则AE+PB+PC的最小值为（）

A、 $10$ B、 $2 \sqrt{19}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{13}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．有一动点P从点C开始沿C→B→A方向以2cm/s的速度运动到点A后停止运动，当运动时间为秒时，△ACP是等腰三角形．

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12. 如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD，当α＝°时，△AOD是直角三角形.

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13. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点D ， E ， F分别是线段AC ， AB ， DC的中点，下列结论：①△EFB为等边三角形．②S_四边形_DFBE＝ $\frac{1}{2}$ S_△_A_BC ． ③AE＝2DF ． ④AC＝8DG ．其中正确的是．

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14. 如图，等腰Rt△ABC的直角边长为 $\sqrt{8}$ ， D，E分别为边AB，AC上两个动点，且AE=BD，则CD+BE的最小值.

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15. 如图所示， $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 8 c m$ ， $B C = 12 c m .$ 点 $P$ 沿射线 $A B$ 方向从点 $A$ 出发以 $1 c m / s$ 的速度移动，点 $Q$ 沿射线 $C B$ 方向从点 $C$ 出发以 $2 c m / s$ 的速度移动， $P$ ， $Q$ 同时出发，秒后， $△ P B Q$ 的面积为 $1 c m^{2}$ .

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16. 如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固定的钢架外，AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架.如图1所示， $A B = 29 c m ， A D = 13 c m ， B C = 20 c m$ ，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC，CE两边上，其中 $P B = 13 c m ， C Q = 20 c m$ .当伸缩杆PQ打开最大时，如图2所示， $∠ A D C$ 成 $18 0^{°}$ ，此时 $P Q = \sqrt{449} c m$ ，则可变定长钢架CD的长度为 $c m$ .当伸缩杆完全收拢时， $C D / / A B$ ，则此时床高(CD与AB之间的距离）为cm.

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三、解答题（共5题，共32分）

17. 葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？

(1)、如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？

(2)、如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？

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18. 如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒（t≠0）.

(1)、出发2秒后，求PQ的长；

(2)、出发几秒钟后，直线PQ把△ABC的周长分成1：2的两部分；

(3)、在点Q的运动过程中，是否存在时间t求能使△BCQ成为等腰三角形，如果有，请求出t，如果没有请说明理由.

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19. 如图，在△ABC中， $C A = C B = 4 \sqrt{2}$ ， ∠ACB=90°，点P是边AB所在直线上的一个动点，连结CP ，将CP绕点C按逆时针方向旋转90°得到CD ，连结AD ．

(1)、如图1，当点P在AB的延长线上时，求证：AD⊥AB ．

(2)、如图2，若点P从点B运动到点A ．
①△DPA的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
②如图3，过点B作BA的垂线，与直线DC交于点N ，作点B关于直线DC的对称点Q ，直线NQ交直线直线AD于点M ，若∠NMD=60°，求BP的长．

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20. 有两块腰长为 $20 c m$ 的等腰直角 $△ A B C$ 白铁皮．

(1)、按图1裁出一块正方形 $D E F G$ ，四个顶点都在 $△ A B C$ 边上．求裁出正方形的边长．

(2)、按图2裁出面积总和为 $125 c m^{2}$ 的两块矩形铁皮，裁剪过程如下：
步骤1：在等腰直角 $△ A B C$ 白铁皮上裁下一块长宽不等的矩形 $C D E F$ ，矩形的四个顶点都在 $△ A B C$ 的边上，留下两块等腰直角三角形零料，分别记为 $△ A E F$ ， $△ B D E$ ．

步骤2：取其中一块零料 $△ B D E$ ，从零料上裁下一块正方形 $G H M N$ ，正方形的四个顶点都在零料边上．求裁下的正方形 $G H M N$ 边长．

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21. 如图，直线 $P Q / / M N$ ，一副三角尺 $(∠ A B C = ∠ C D E = 90 ° ， ∠ A C B = 30 ° ， ∠ B A C = 60 ° ， ∠ D C E = ∠ D E C = 45 °)$ 按如图 $①$ 放置，其中点 $E$ 在直线 $P Q$ 上，点 $B$ ， $C$ 均在直线 $M N$ 上，且 $C E$ 平分 $∠ A C N$ ．

(1)、求 $∠ D E Q$ 的度数．

(2)、如图 $②$ ，若将三角形 $A B C$ 绕点 $B$ 以每秒 $3$ 度的速度按逆时针方向旋转 $(A ， C$ 的对应点分别为 $F$ ， $G)$ ，设旋转时间为 $t (s) (0 \leq t \leq 60)$ ．
$①$ 在旋转过程中，若边 $B G / / C D$ ，求 $t$ 的值．

$②$ 若在三角形 $A B C$ 绕点 $B$ 旋转的同时，三角形 $C D E$ 绕点 $E$ 以每秒 $2$ 度的速度按顺时针方向旋转 $(C ， D$ 的对应点为 $H$ ， $K) .$ 请直接写出当边 $B G / / H K$ 时 $t$ 的值．

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四、实践探究题（共5题，共40分）

22. 定义：若以三条线段 $a$ ， $b$ ， $c$ 为边能构成一个直角三角形，则称线段 $a$ ， $b$ ， $c$ 是勾股线段组.

(1)、如图①，已知点M，N是线段AB上的点，线段AM，MN，NB是勾股线段组.若AB=12，AM=3，求MN的长；

(2)、如图②，△ABC中，∠A=17°，∠B=28°，边AC，BC的垂直平分线分别交AB于点M，N，求证：线段AM，MN，NB是勾股线段组；

(3)、如图③，在等边△ABC，P为△ABC内一点，线段AP，BP，CP构成勾股线段组，CP为此线段组的最长线段，求∠APB的度数.

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23. 定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．

(1)、顶角为120°的等腰三角形（填“是”或“不是”）“准等边三角形”．

(2)、已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°，求∠B的度数．

(3)、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1＋ $\sqrt{3}$ ，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长．

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24. 阅读材料：
⑴对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b ．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
⑵对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0
∴（a²﹣b²）与（a﹣b）的符号相同
当a²﹣b²＞0时，a﹣b＞0，得a＞b
当a²﹣b²＝0时，a﹣b＝0，得a＝b
当a²﹣b²＜0时，a﹣b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：

(1)、课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x ，每张B5纸的面积为y，且x＞y ，张丽同学的用纸总面积为W₁ ，李明同学的用纸总面积为W₂ ．回答下列问题：
①W₁＝        用x、y的式子表示）
W₂＝        （用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．

(2)、如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC＝3km ， BE＝4km），AB＝xkm ，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P ，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a₁＝AB+AP ．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P ，泵站修建在店P处，该方案中管道长度a₂＝AP+BP ．
①在方案一中，a₁＝        km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a₂＝        km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．

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25.

(1)、【思维启迪】
如图1，点P是线段 $A B$ ， $C D$ 的中点，则 $A C$ 与 $B D$ 的数量关系为，位置关系为；

(2)、【思维探索】
如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D为 $△ A B C$ 内一点，连接 $B D$ ， $D C$ ，延长 $D C$ 到点E ，使 $C E = C D$ ，连接 $A E$ ，若 $B D ⊥ A E$ ，请用等式表示 $A B$ ， $B D$ ， $A E$ 之间的数量关系，并说明理由；
★小明思考良久后，根据 $C E = C D$ 这一条件，给出了如图4的辅助线：延长 $A C$ 到T ，使得 $C T = A C$ ，连接 $D T$ ， $B T$ ，请你根据小明给出的辅助线，继续猜想 $A B$ ， $B D$ ， $A E$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D为 $A B$ 中点，点E在线段 $B D$ 上（点E不与点B ，点D重合），连接 $C E$ ，过点A作 $A F ⊥ C E$ ，连接 $F D$ ，若 $A F = 8$ ， $C F = 3$ ，请求出 $F D$ 的长．

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26. 【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，AD是△ABC的中线，若AB=5，AC=3，求AD的取值范围.

(1)、【探究方法】
小强所在的小组通过探究发现，延长AD至点E使ED=AD，连接BE.
可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到到△ABE中，进而求出AD的取值范围.
方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”.
请你利用上面解答问题的思路方法，求出求AD的取值范围的过程.

(2)、【问题解决】
如图②，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC，下列四个选项中：A．AC=BE B．CE=2CD C．∠BCD=∠BCE D．∠ACD=∠BCD.直接写出所有正确选项的序号是.

(3)、【问题拓展】
如图③，在△ABO和△CDO中，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是BD的中点，求证：OE= $\frac{1}{2}$ AC.

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备考2024年浙江中考数学一轮复习专题20.1三角形（2） 基础夯实

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共5题，共32分）

四、实践探究题（共5题，共40分）

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