备考2024年浙江中考数学一轮复习专题20.2三角形（2）真题模拟集训

试卷更新日期：2024-03-02 类型：一轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点 $E$ 作 $E H ⊥ A B$ 于点 $H$ .当 $A B = B C ， ∠ B O C =$ $3 0^{°} ， D E = 2$ 时，EH的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ．若 $∠ A O B = 60 °$ ，则 $\frac{A B}{B C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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3. 如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E.分别以点D，E为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF并延长，交BC于点G，连结DG，EG.添加下列条件，不能使BG=CG成立的是（）

A、 $A B = A C$ B、 $A G ⊥ B C$ C、 $∠ D G B = ∠ E G C$ D、 $A G = A C$

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4. 如图，以Rt△ABC各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、②、③，将②、①如图所示依次叠在③上，已知四边形EMNC与四边形MPQN的面积分别为9 $\sqrt{3}$ 与7 $\sqrt{3}$ ，则斜边BC的长为（）

A、5 B、9 C、10 D、16

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5. 如图，Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的中线，要说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，可以作为反例的两个三角形是（）

A、△ACE和△BCE B、△BCE和△ABC C、△CDE 和△BCD D、△ACD和△BCD

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6. 如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）

A、4，30° B、2，60° C、1，30° D、3，60°

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D为边 $A B$ 的中点，点E在线段 $A D$ 上， $C E = C D$ ， $E F ⊥ A C$ 于点F，若 $∠ A = 50 °$ ， $A B = 12$ ，则线段 $C F$ 的长为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、4

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8. △BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）

A、△ABC的周长 B、△AFH的周长 C、四边形FBGH的周长 D、四边形ADEC的周长

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9. 如图，点P是 $△ A B C$ 的重心，点D是边AC的中点， $P E ∥ A C$ 交BC于点E， $D F ∥ B C$ 交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、12 B、14 C、18 D、24

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10. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交于点 $Q$ .若 $H F = F G$ ，则 $\frac{S_{四边形 P C Q E}}{S_{正方形 A B E F}}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ D、 $\frac{6}{25}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠A＝30°，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处.当直线EF与直线AC垂直时，则AE的长为.

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12. 如图，已知AB=8，点C、D在线段AB上且AC=1，DB=3，P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G，当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是.

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13. 如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b．CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．

(1)、若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为．

(2)、若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为．

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14. 一副三角板ABC和DEF中， $∠ C = ∠ D = 90 ° ， ∠ B = 30 ° ， ∠ E = 45 ° ， B C = E F = 12$ ．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是，现将 $△ D E F$ 绕点 $C (F)$ 按顺时针方向旋转（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转 $0 °$ 到 $60 °$ 的过程中，线段DH扫过的面积是。

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15. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D 、 E$ 分别为边 $B C 、 A B$ 上的动点，运动过程中始终保持 $B D = 2 A E$ ．连结 $D E$ ，在 $D E$ 右侧作等边三角形 $D E F$ ，并连结 $A F$ ．

(1)、当 $D E ⊥ B C$ 时，若 $A B = 10$ ，则 $D E =$ ．

(2)、在点 $E$ 从点 $A$ 运动到点 $B$ 的过程中，若 $A F$ 的最小值为 $3$ ，则 $△ A B C$ 边长是．

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16. 下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中， $∠ A C B = 9 0^{°} (A C < B C)$ ，四边形ACDE，CBFG是正方形.过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形 $A C D E ， △ A B C$ 拼成图2.

(1)、若 $c o s ∠ A B C = \frac{3}{4} ， △ A B C$ 的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为.

(2)、若 $\frac{P Q}{B Q} = \frac{19}{15}$ ，则 $\frac{B K}{A K} =$ .

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三、作图题（共6分）

17. 如图，是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点叫作格点．线段AB的端点均在网格上，分别按要求作图，每小题各画出一个即可．

(1)、在图1中画出以AB为边的平行四边形 $A B C D$ ，且点C，D在格点上；

(2)、在图2中画出等腰三角形ABE，且点E在格点上；

(3)、在图3中画出直角三角形ABF，且点F在格点上．

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四、解答题（共6题，共42分）

18. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．

(1)、求证：CE=CM.

(2)、若AB=4，求线段FC的长.

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19. 在① $A D = A E$ ，② $∠ B A E = ∠ C A D$ 这两个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，请完成问题的解答．
问题：如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D，E在边BC上（不与点B，C重合）连结AD，AE．若▲ ，求证： $B D = C E$ ．

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20. 如图，C为线段AB上一点，AC＝4，BC＝2，射线CD⊥AB于点C，P为射线CD上一点，连接PA，PB.

【发现、提出问题】 ①当PC＝3时，求PA²－PB²的值；

②小亮发现PC取不同值时，PA²－PB²的值存在一定规律，请猜想该规律 .

【分析、解决问题】请证明你的猜想.

【运用】当PA－PB＝1时，△PAB的周长为 .

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21. 如图，直线 $y = - x + 2$ 与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线y=x交于点C.动点P从原点O出发，以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度沿O→B→A的路线向终点A运动（点P不与点O，A重合），同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→O→C的路线向终点C运动（点Q不与点A，C重合），设点P运动的时间为t（秒）.设△APQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.

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22. 如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．

(1)、如图，当P与E重合时，求α的度数．

(2)、当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．

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23. 如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $\sin B = \frac{4}{5}$ ．点D为AB的中点，过点D作射线 $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点E，点M为射线 $D E$ 上一动点，过点M作 $M N ⊥ B C$ 于点N，点P为边 $A C$ 上一点，连结 $N P$ ，且满足 $\frac{A P}{B N} = \frac{4}{5}$ ，设 $B N = x$ ， $N P = y$ ．

(1)、求线段 $M N$ 的长．

(2)、求y关于x的函数表达式．

(3)、如图2，连结 $M P$ ．
①当 $△ M N P$ 为等腰三角形时，求x的值．

②以点M为旋转中心，将线段 $M P$ 按顺时针方向旋转90°得线段 $M P^{'}$ ，当点 $P^{'}$ 落在 $B C$ 边上时，求 $\frac{N P}{A B}$ 的值．

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五、实践探究题（共3题，共24分）

24.

(1)、【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．

(2)、【尝试应用】
如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求 $\frac{D E}{B C}$ 的值．

(3)、【拓展提高】
如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．

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25. 定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”.

(1)、【基础巩固】
如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC=60°，AC= $4 \sqrt{6}$ ，求AE+BE+CE=.

(2)、【尝试应用】
如图2，等边三角形ABC边长为 $4 \sqrt{3}$ ，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究等边三角形ABC的“近点”P与D的距离，并求出等边三角形ABC的“最近值”.

(3)、【拓展提高】
如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA=75°，AB=6，求三角形AFB“最近值”的平方.

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26. 根据以下素材，探索完成任务．

探究遮阳伞下的影子长度

素材1

图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈 $180 °$ ，图2是其侧面示意图．已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架 $A E = D E = 0.5$ 米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．

素材2

时刻	12点	13点	14点	15点	16点	17点
太阳高度 $α$ （度）	90	75	60	45	30	15
参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ．

某地区某天下午不同时间的太阳高度角 $α$ （太阳光线与地面的夹角）参照表：

素材3

小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点Q．

问题解决

任务1

确定影子长度

某一时刻测得 $B D = 1.7$ 米，请求出此时影子 $G H$ 的长度．

任务2

判断是否照射到

这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？

任务3

探究合理范围

小明打算在这天14：00－15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算 $B Q$ 的取值范围．