广西桂林市2023-2024学年度高一上学期数学期末质量检测

试卷更新日期：2024-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {1 ， 2 ， 4 ， 8}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 8}$

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2. 命题“ $\forall x \geq 2$ ， $x^{2} - 4 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \geq 2$ ， $x^{2} - 4 \geq 0$ B、 $\exists x < 2$ ， $x^{2} - 4 \geq 0$ C、 $\forall x \geq 2$ ， $x^{2} - 4 \geq 0$ D、 $\forall x < 2$ ， $x^{2} - 4 < 0$

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3. 函数 $f (x) = l g (x - 2)$ 的定义域为（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(0 ， 2]$

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4. 不等式 $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ 的解集为（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(- \infty ， - 3)$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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5. 在同一坐标系中，函数y=（ $\frac{1}{2}$ ）^x与y=log₂x的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 三角形全等是三角形面积相等的（）

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知 $a = l o g_{0.2} 3 ， b = 2^{0.3} ， c = 0 . 3^{0.2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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8. 已知某物种 $t$ 年后的种群数量 $y$ 近似满足函数模型： $y = k_{0} \cdot e^{1.4 e - 0.125 t}$ （ $k_{0} > 0$ ，当 $t = 0$ 时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过 $n$ 年后 $(n \in N)$ ，当该物种的种群数量不足2023年初的 $10 %$ 时， $n$ 的最小值为（参考数据： $l n 10 \approx 2.3026$ ）（）

A、16 B、17 C、18 D、19

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二、多选题

9. 若 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 $\frac{1}{b - a} < \frac{1}{b}$ D、 $a^{3} < b^{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{| x |}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的图象不过原点 C、 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增

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11. 甲、乙两袋里有除颜色外完全相同的球.从甲袋中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{4}$ ，下列结论正确的是（）

A、从甲袋中摸出一个球，不是红球的概率是 $\frac{2}{3}$ B、从乙袋中摸出一个球，不是红球的概率是 $\frac{1}{2}$ C、从两袋中各摸出一个球，2个球都是红球的概率为 $\frac{1}{12}$ D、从两袋中各摸出一个球，2个球都不是红球的概率为 $\frac{1}{2}$

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12. 下列区间上，函数 $f (x) = l n (x + 1) - \frac{2}{x}$ 有零点的是（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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三、填空题

13. 某公司生产 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三种型号的新能源汽车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则 $A$ 种型号的新能源车应抽取辆.

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14. 已知幂函数 $y = f (x) = x^{a}$ 的图象经过点 $(2 ， 4)$ ，则 $f (- 3) =$ .

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15. 已知 $x > - 1$ ，则 $x + \frac{4}{x + 1}$ 的最小值为.

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16. 一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2.现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，方差 $s^{2}$ 为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | a - 1 \leq x \leq a + 3}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $B ⊆ A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动.

(1)、写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；

(2)、求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率.

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19. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[2 ， 3]$ 上的值域.

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20. 在某校进行男生身高调查，随机抽取100名男生，测得他们的身高（单位： $c m$ ），并按照区间 $[160 ， 165)$ ， $[165 ， 170)$ ， $[170 ， 175)$ ， $[175 ， 180)$ ， $[180 ， 185]$ 分组，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)、估计该校一位男生的身高位于区间 $[165 ， 175)$ 的概率及该校男生身高的 $75 %$ 分位数；

(2)、估计该校男生的平均身高（同一组数据用该区间的中点值为代表）.

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21. 疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：一工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格 $P (x)$ （单位：元）与时间 $x$ （单位：天）的函数关系近似满足 $P (x) = 4 + \frac{k}{x + 2}$ （ $k$ 为常数，且 $k > 0$ ），日销售量 $Q (x)$ （单位：件）与时间 $x$ （单位：天）的部分数据如下表：
$x$ （天）
2
14
18
22
26
30
$Q (x)$
44
128
140
144
140
128

(1)、给出以下三个函数模型：① $Q (x) = a x + b$ ；② $Q (x) = a (x - m)^{2} + b$ ；③ $Q (x) = a^{x} + b$ .请你根据上面的数据图表，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量 $Q (x)$ 与时间 $x$ 的变化关系，并求出 $Q (x)$ 的解析式；

(2)、已知第2天该工艺品的日销售收入为220元.求在过去的30天中，哪几天该工艺品的日销售收入不低于588元.

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} [k \cdot 9^{x} - (k - 2) \cdot 3^{x} + k + \frac{1}{3}]$ .

(1)、当 $k = 0$ 时，解不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、若 $f (x)$ 的最大值是 $- 1$ ，求 $k$ 的值；

(3)、已知 $0 < k < 1$ ， $0 < a < b$ ，当 $f (x)$ 的定义域为 $[a ， b]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[a + 1 ， b + 1]$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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$x$ （天）	2	14	18	22	26	30
$Q (x)$	44	128	140	144	140	128