广西壮族自治区玉林市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-03-01 类型：期末考试

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一、､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{7} = 4$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、 $\pm 2$ B、1 C、2 D、4

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2. 已知曲线 $C ： \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{1 - m} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， + ∞)$ B、 $(- ∞ ， - 1)$ C、 $(- ∞ ， 1)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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3. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $N$ 是 $B C$ 的中点.设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{A N}$ ，则（）

A、 $\vec{A N} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{A N} = - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{A N} = - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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4. 已知点 $A (0 ， 3) ， B (0 ， - 3)$ ，则满足下列关系式的动点 $M$ 的轨迹是双曲线 $C$ 的下支的是（）

A、 $| | M B | - | M A | | = 3$ B、 $| M A | - | M B | = 4$ C、 $| M B | - | M A | = 5$ D、 $| M B | - | M A | = 8$

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5. 若直线 $l$ 在 $x$ 轴､ $y$ 轴上的截距相等，且直线 $l$ 将圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ 的周长平分，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + y + 1 = 0$ B、 $x + y - 1 = 0$ C、 $x + y + 1 = 0$ 或 $2 x + y = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$ 或 $2 x + y = 0$

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6. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $F$ ，准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $M$ ，点 $P$ 在抛物线上，且 $| P M | = \sqrt{2} | P F |$ ，则 $△ P M F$ 的面积为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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7. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（）

A、561 B、595 C、630 D、666

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8. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，椭圆 $C_{2}$ 与双曲线 $C_{1}$ 的焦点相同， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在第一象限的交点为 $P$ ，若 $P F_{1}$ 的中点在双曲线 $C_{1}$ 的渐近线上，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 2) ， \vec{b} = (4 ， 3 ， 0)$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $| \vec{a} | = 9$ B、 $2 \vec{a} - \vec{b} = (0 ， 1 ， 4)$ C、 $c o s ⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{1}{3}$ D、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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10. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M ， N$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、抛物线的焦点坐标是 $(2 ， 0)$ B、焦点到准线的距离是2 C、若点 $P$ 的坐标为 $(2 ， 1)$ ，则 $| M P | + | M F |$ 的最小值为2 D、若 $Q$ 为线段 $M N$ 中点，则 $Q$ 的坐标可以是 $(3 ， 2)$

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11. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 9 n - n^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 是递减数列 B、 $a_{10} = - 14$ C、当 $n > 5$ 时， $a_{n} < 0$ D、当 $n = 4$ 或5时， $S_{n}$ 取得最大值

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12. 过点 $P (1 ， 0)$ 作两条相互垂直的射线与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 9$ 分别交于 $A ， B$ 两点，则弦长 $A B$ 可能的取值是（）

A、 $\frac{16}{5}$ B、4 C、5 D、6

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三、､填空题：本题共4小题，包小题5分，共20分

13. 直线 $l_{1} ： x + (1 + m) y = 2 - m$ 与直线 $l_{2} ： 2 m x + 4 y = - 16$ 平行，则 $m =$ .

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14. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ ，则 $S_{2024} =$ .

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15. 已知直线 $l ： x + y + 1 = 0$ 经过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ ，且与椭圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点， $F_{2}$ 为椭圆的右焦点， $△ M N F_{2}$ 的周长为8，则此椭圆的短轴长为；弦长 $| M N | =$ .

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16. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘} ， A C = 2 ， B C = 5 ， P$ 为边 $A B$ 上的动点，沿 $C P$ 将 $△ A C P$ 折起形成直二面角 $A^{'} - C P - B$ ，当 $A^{'} B$ 最短时， $\frac{A P}{B P} =$ .

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四、､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤.

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 0$ ，且 ▲ 在① $S_{7} = a_{4} + 12$ ， ② $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 6$ 这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答.
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 2^{a_{n + 2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1 . M$ 为平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的中心.

(1)、求证： $D_{1} M$ $∥$ 平面 $B C_{1} D$ ；

(2)、求点 $D_{1}$ 到平面 $B C_{1} D$ 的距离.

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19. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 经过点 $(2 ， 3)$ ，一条浙近线的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若点 $M (- 1 ， 0)$ ，过双曲线的右焦点 $F$ 的直线 $l$ 交双曲线于A、B.以 $A B$ 为直径的圆是否恒过点 $M$ ，请说明理由.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $∠ A D C = 9 0^{∘}$ ， $A D$ $∥$ $B C ， A B ⊥ A C ， A B = A C = 6 ， E$ 点在 $A D$ 上，且 $A E = 2 E D$ .

(1)、求证，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成的角为 $6 0^{∘}$ ，求二面角 $A - P E - B$ 的余弦值.

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21. 如图，四边形 $M N P Q$ 是一块长方形绿地， $M Q = 3 k m ， M N = 2 k m ， R S$ 是一条直路，交 $M N$ 于点 $R$ ，交 $M Q$ 于点 $S$ ，且 $M R = S Q = 1 k m$ .现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到 $P ， R ， S$ 三个点的距离相等.以点 $M$ 为坐标原点，直线 $M N ， M Q$ 分别为 $x$ ， $y$ 轴建立如图所示的直角坐标系.

(1)、求出建筑物的中心 $C$ 的坐标；

(2)、由建筑物的中心到直路 $R S$ 要开通一条路，已知路的造价为150万元 $/ k m$ ，求开通的这条路的最低造价.
（附：参考数据 $\sqrt{2} \approx 1.414 ， \sqrt{3} \approx 1.732 ， \sqrt{5} \approx 2.24$ .）

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22. 定义：若无穷数列 ${a_{n}}$ 满足 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则称数列 ${a_{n}}$ 为“ $M (q)$ 数列”.设数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 1 ， b_{3} = 7$ .

(1)、若 $b_{2} = 4$ ，且数列 ${b_{n}}$ 为“ $M (q)$ 数列”，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 是“ $M (2)$ 数列”，是否存在正整数 $m ， n$ ，使得 $\frac{4041}{2020} < \frac{b_{m}}{b_{n}} < \frac{4042}{2020}$ ？若存在，请求出所有满足条件的正整数 $m ， n$ ；若不存在，请说明理由.

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