广西壮族自治区三新学术联盟2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-03-01 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点坐标是（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(\frac{1}{4} ， 0)$ C、 $(0 ， - 1)$ D、 $(0 ， \frac{1}{4})$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 6 ， z)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则z＝（）

A、﹣4 B、4 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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3. 设P是椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $2 \sqrt{6}$

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前5项之和为25， $a_{2} = - 1$ ，则公差为（）

A、6 B、3 C、4 D、5

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5. 已知两直线 $y = x + 2 k$ 与 $y = - x$ 的交点在圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 的内部，则实数k的取值范围是（）

A、 $- 1 < k < 1$ B、 $- 2 < k < 2$ C、 $- 3 < k < 3$ D、 $- \sqrt{2} < k < \sqrt{2}$

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6. 正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{2} = 3$ ， $S_{4} = 15$ ，则 $a_{5} + a_{6}$ 等于（）

A、9 B、72 C、70 D、48

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0 ， b > 0$ )，以双曲线C的右顶点A为圆心，b为半径作圆A ，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M ， N两点，若 $∠ M A N = 60 °$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、2

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8. 如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中， $P (x ， y ， z)$ 是正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 内一动点， $A_{1} A = A B = 2$ ，直线PA和底面ABC所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，则P点的坐标满足（）

A、 $x^{2} + y^{2} = \frac{4}{3}$ B、 $x^{2} + y^{2} = 2$ C、 $x^{2} + y^{2} = 3$ D、 $x^{2} + y^{2} = 4$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若圆M： ${(x - k)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 8$ 与圆N： ${(x - 1)}^{2} + {(y - k)}^{2} = 2$ 相交，则k的取值可能为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、1 C、3.8 D、4.2

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10. 关于x ， y的方程 $x^{2} + m y^{2} = m (m \in R)$ 表示的曲线可以是（）

A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆

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11. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{12} = 0$ ，则下列结论一定正确的有（）

A、 $a_{1} + 5 a_{3} = S_{7}$ B、 $S_{12}$ 最小 C、 $S_{8} = S_{15}$ D、 $S_{23} = 20$

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12. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内的动点，E ， F ， O ， K分别为AB ， BC ， BD ， $B B_{1}$ 的中点，若 $A B = 2 A A_{1} = 2 A D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A P} \cdot \vec{A D}$ 的最大值为2 B、三棱锥P﹣ABD的体积不变，表面积改变 C、若 $P K ⊥$ 平面 $B_{1} E F$ ，则 $| P K | = \frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $E P^{2} + P K^{2}$ 的最小值为 $\frac{7}{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若点 $M (- 1 ， 2)$ 在抛物线 $x^{2} = 2 p y$ 上，则该抛物线的方程为．

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14. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 0 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1 ， 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是．

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15. 如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为个．(用含n的代数式表示)

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16. 如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A ， C同时出发，以相同的速度1分别向点B ， D运动，最后同时到达，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，

(1)、已知 $a_{1} = - 2$ ， $a_{6} = \frac{1}{16}$ ，求前4项和 $S_{4}$ ；

(2)、已知公比 $q = 2$ ，前6项和 $S_{6} = 189$ ，求 $a_{1}$ ．

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18. 已知圆C经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 2)$ 两点，且圆心C在直线 $x + y - 1 = 0$ 上．

(1)、求圆C的方程；

(2)、过点 $(- 2 ， 0)$ 的直线l与圆C交于P ， Q两点，若 $| P Q | = 6$ ，求直线l的方程．

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19. 已知 $△ A B C$ 的周长为 $2 \sqrt{2} + 2$ ，其中点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ．

(1)、求点C的轨迹方程；

(2)、设D为点A关于直线 $x - 2 y - \frac{3}{2} = 0$ 的对称点，求线段CD的长度的取值范围．

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20. 如图，O是圆柱下底面的圆心，该圆柱的轴截面是边长为4的正方形ABCD ， P为线段AD上的动点，E ， F为下底面上的两点，且 $A E = A F$ ， $∠ E A F = 120 °$ ， EF交AB于点G ．

(1)、当 $A P = \frac{3}{2}$ 时，证明： $O P ⊥$ 平面CEF；

(2)、当 $△ P E F$ 为等边三角形时，求二面角 $P - E F - C$ 的余弦值．

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21. 已知过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F ，斜率为2的直线交抛物线于A ， B两点，且 $| A B | = 10$ ．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、抛物线的准线与x轴交于点 $F^{'}$ ，过点 $F^{'}$ 的直线l交抛物线于M ， N两点，当 $\vec{F^{'} M} \cdot \vec{F^{'} N} = 64$ 时，求直线l的方程．

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22. 已知数列 ${\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}}}$ 是以公比为3，首项为3的等比数列，且 $a_{1} = 1$ ．

(1)、求出 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n a_{n}}{a_{n} + 2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若不等式 $2 S_{n} > λ - \frac{n + 1}{3^{n}}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数λ的取值范围．

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