浙江省杭州市富阳区2023-2024学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-03-01 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 设集合 $A = {x | - 2 < x < 4}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{2} B、 ${2 ， 3}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知 $z = 2 - i$ ，则 $z (\bar{z} + i) =$ （）

A、 $6 - 2 i$ B、 $4 - 2 i$ C、 $6 + 2 i$ D、 $4 + 2 i$

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3. 已知直线 $l_{1} ： 2 x + a y + b = 0$ 和 $l_{2} ： 3 x + 3 y + b + 1 = 0$ ，则“ $a = 2$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $c o s (α - β) = \frac{3}{5}$ ， $s i n β = - \frac{5}{13}$ ，且 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $β \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $- \frac{63}{65}$ B、 $- \frac{33}{65}$ C、 $\frac{33}{65}$ D、 $\frac{63}{65}$

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，它与另一条渐近线、 $x$ 轴都相切，则该双曲线的离心率为（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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6. 现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球． $A$ 事件“第一次取出的球的数字是3”， $B$ 事件“第二次取出的球的数字是2”， $C$ 事件“两次取出的球的数字之和是7”， $D$ 事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）

A、 $A$ 与 $C$ 相互独立 B、 $A$ 与 $D$ 相互独立 C、 $B$ 与 $D$ 相互独立 D、 $C$ 与 $D$ 相互独立

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7. 已知函数 $f (x)$ 和 $f (x + 2)$ 都是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (- \frac{2021}{2}) =$ （）

A、 $2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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8. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $x | x | + \frac{y | y |}{3} = 1$ ，则 $| \sqrt{3} x + y - 4 |$ 的取值范围是（）

A、 $[4 - \sqrt{6} ， 4)$ B、 $[4 - \sqrt{6} ， 2)$ C、 $[2 - \frac{\sqrt{6}}{2} ， 2)$ D、 $[2 - \frac{\sqrt{6}}{2} ， 4)$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分.

9. 已知把函数 $y = s i n 2 x$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 图象，（）

A、 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = c o s (2 x - \frac{5 π}{6})$ D、 $f (x) = c o s (2 x - \frac{2 π}{3})$

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10. 已知 $O$ 为坐标原点，点 $P_{1} (c o s α ， s i n α)$ ， $P_{2} (c o s β ， - s i n β)$ ， $P_{3} (c o s (α + β) ， s i n (α + β))$ ， $A (1 ， 0)$ ，则（）

A、 $| \vec{O P_{1}} | = | \vec{O P_{2}} |$ B、 $| \vec{A P_{1}} | = | \vec{A P_{2}} |$ C、 $\vec{O A} \cdot {\vec{O P}}_{3} = \vec{O P_{1}} \cdot \vec{O P_{2}}$ D、 $\vec{O A} \cdot \vec{O P_{1}} = \vec{O P_{2}} \cdot \vec{O P_{3}}$

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11. 在平面直角坐标系中，三点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $C (0 ， 7)$ ，动点 $P$ 满足 $P A = \sqrt{2} P B$ ，则（）

A、点 $P$ 的轨迹方程为 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 8$ B、 $△ P A B$ 面积最大时 $P A = 2 \sqrt{6}$ C、 $∠ P A B$ 最大时， $P A = 2 \sqrt{6}$ D、 $P$ 到直线 $A C$ 距离最小值为 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$

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12. 正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $△ A B_{1} P$ 的周长为定值 B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积为定值 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使 $A_{1} P ⊥ B P$ D、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使 $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} P$

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三、填空题：本大题共4小题，每题5分，双空题第一空2分，第二空3分，共20分.

13. 在△ABC中，已知 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ， $C = 3 0^{∘}$ ，则 $b =$ ．

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14. 表面积为16π的球的内接轴截面为正方形的圆柱的体积为.

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15. 已知 $A ， B$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左右顶点，点 $M ， N$ 分别在矩形 $A B C D$ 的边 $B C ， C D$ 上， $| A D | = 4$ ，且 $A M$ 与 $B N$ 的交点 $P$ 在椭圆上（第一象限内），则 $\frac{| B M |}{| C N |} =$ ．

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16. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中，若底面 $A B C$ 是正三角形，侧棱长 $S A = S B = S C = \sqrt{3}$ ， $M$ 、 $N$ 分别为棱 $S C$ 、 $B C$ 的中点，并且 $A M ⊥ M N$ ，则直线 $M N$ 与面 $A B C$ 所成角的正切值为；三棱锥 $S - A B C$ 的外接球的体积为．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3＋3模式初露端倪，其中，语、数、英三门为必考科目，剩下三门为选考科目（物理、化学、生物、政治、历史、地理）.选考科目采用赋分”，即原始分不直接使用，而是按照学生在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后的得分，假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%，35%，35%，13%和2%划定A、B、C、D、E五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分.该省某高中高二（11）班（共40人）进行了一次模拟考试选考科目全考，单科全班排名，（已知这次模拟考试中历史成绩满分100分）的频率分布直方图和地理成绩的成绩单如下所示，李雷同学这次考试中历史82分，地理70多分.

(1)、采用赋分制后，求李雷同学历史成绩的最终得分；

(2)、采用赋分制后，若李雷同学地理成绩最终得分为80分，那么他地理成绩原始分的所有可能值是多少？

(3)、若韩梅同学必选历史，从地理、政治、物理、化学、生物五科中等可能地任选两科，则她选考科目中包含地理的概率是多少？

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18. 在① $c (c o s A c o s B + \frac{1}{2}) = a s i n B s i n C$ ， ② $(a - b) s i n A + b s i n (A + C) = c s i n C$ ， ③ $c s i n A = a c o s (C - \frac{π}{6})$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知在 $Δ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， ▲ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、AB=4，求 $Δ A B C$ 面积的最大值。

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19. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为1的正方形，若 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 6 0^{∘}$ ，且 $A_{1} A = 3$ ，若M是AA₁的中点.

(1)、求证： $A_{1} C$ //平面MBD；

(2)、求 $A_{1} C$ 的长为；

(3)、求直线 $A_{1} C$ 与直线DM所成角的余弦值.

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20. 如图，已知长方形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， M为DC的中点.将△ADM沿 $A M$ 折起，使得平面 $A D M$ ⊥平面 $A B C M$ .

(1)、求证： $A D ⊥ B M$ ；

(2)、若点 $E$ 是线段 $D B$ 上的一动点，问点 $E$ 在何位置时，二面角 $E - A M - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

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21. 如图，直线 $l$ 与圆 $E ： x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ 相切于点 $P$ ，与抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 相交于不同的两点 $A ， B$ ，与 $y$ 轴相交于点 $T (0 ， t) (t > 0)$ .

(1)、若 $T$ 是抛物线 $C$ 的焦点，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $| T E |^{2} = | P A | \cdot | P B |$ ，求 $t$ 的值.

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22. 设 $a ， b \in R$ ，已知函数 $f (x) = x^{2} + \sqrt{2 x} - a$ ， $g (x) = 4 x + \sqrt{x - 1} + b$ 的零点分别是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $1 < x_{1} < x_{2}$ ．

(1)、若 $1 < x_{1} < 2$ ，求a的取值范围；

(2)、若 $a = 6$ ，证明： $g (x) < \frac{9}{2} x - 9$ ；

(3)、若 $a > 6$ ，证明： $f (x_{2}) + g (x_{1}) > 0$ ．

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