广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高二（上）期末数学试卷（B卷）

试卷更新日期：2024-03-01 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的准线方程为（）

A、 $y = - 1$ B、 $y = - 2$ C、 $x = - 1$ D、 $x = - 2$

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2. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} a_{3} a_{4} = 8$ ， $a_{6} = 16$ ，则公比 $q =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $2$ 或 $- 2$

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3. 双曲线的一个顶点为 $(2，0)$ ，焦点到渐近线的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，则双曲线方程是（）

A、 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{8} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

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4. 设椭圆的两个焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 $P$ ，若△ $F_{1} P F_{2}$ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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5. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} = 20$ ， $S_{20} = 10$ ，则 $S_{30} =$ （）

A、 $0$ B、 $- 10$ C、 $- 30$ D、 $- 40$

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6. 设 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的一个动点， $F$ 为抛物线的焦点，若 $B (2，2)$ ，则 $| P B | + | P F |$ 的最小值为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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7. 若函数 $f (x) = (x + 1) l n x - a x + 1$ 是 $(0 ， + \infty)$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2 l n 2]$ B、 $(0，2 l n 2]$ C、 $(- \infty ， 2]$ D、 $(0，2]$

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8. 已知函数 $f (x) = 64 x^{3} - 48 x^{2} + 16 x - 1$ ，则经过函数 $f (x)$ 图象的对称中心的直线被圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 截得的最短弦长为（）

A、 $10$ B、 $5$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知定义域为 $[- 3，5]$ 的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 2，2)$ 上单调递减
B、 $f (x)$ 有极小值 $f (2)$
C、 $f (x)$ 有 $2$ 个极值点
D、 $f (x)$ 在 $x = - 3$ 处取得最大值

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10. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B F_{2}$ 的周长为 $12$
B、椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$
C、 $△ A F_{1} F_{2}$ 面积最大值为 $2 \sqrt{5}$
D、 $| A F_{2} | + | B F_{2} |$ 的最大值为 $\frac{26}{3}$

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11. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{2023} < 0$ ， $S_{2024} > 0$ ，则（）

A、使 $a_{n} > 0$ 的 $n$ 的最小值为 $2024$ B、 $| a_{1012} | < | a_{1013} |$ C、当 $S_{n}$ 取最小值时， $n = 1012$ D、 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为单调递减的数列

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12. 已知抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点 $(A$ 在第一象限 $)$ ， $O$ 为坐标原点，若 $| A F | = 2 | B F | = 6$ ，则（）

A、 $p = 4$ B、直线 $l$ 的斜率是 $\pm 2 \sqrt{2}$
C、线段 $A B$ 的中点到 $y$ 轴的距离是 $\frac{5}{2}$ D、 $△ O A B$ 的面积是 $6 \sqrt{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是 $a_{n} = (- 1)^{n} (2 n - 1)$ ，则该数列的前 $100$ 项之和为．

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14. 函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \frac{l n x}{x}$ 的单调增区间为．

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15. 抛物线 $y = x^{2}$ 上到直线 $2 x - y = 4$ 距离最近的点的坐标是。

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16. 一条光线从点 $A (- 4，0)$ 射出，经直线 $x + y - 1 = 0$ 反射到圆 $C$ ： $x^{2} + (y + 2)^{2} = 2$ 上，则光线经过的最短路径的长度为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} = \frac{1}{2} (3^{n} - 1)$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等差数列，且 $b_{2} = 3$ ， $b_{5} = 9$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + \frac{1}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - \frac{2}{3}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，

(1)、求通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = (2 n + 1) (a_{n} + 1)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项的和 $T_{n}$ ．

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20. 过点 $P (1，0)$ 作直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 2 x$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、若直线 $l$ 的斜率是 $1$ ，求弦 $A B$ 的长度；

(2)、设原点为 $O$ ，问：直线 $O A$ 与直线 $O B$ 的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x + 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \in (- 1 ， + \infty)$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ，过 $A$ ， $B$ 两点的直线平分圆 $(x - 1)^{2} + (y - \frac{\sqrt{3}}{2})^{2} = 1$ 的周长，且与坐标轴时成的三角形的面积为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ ： $y = x + m$ 与 $E$ 相交于 $C$ ， $D$ 两点，且点 $M (0，3 m)$ ，当 $△ C D M$ 的面积最大时，求直线 $l$ 的方程．

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