广东省广州市天河区2023-2024学年高一（上）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-01 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. $c o s \frac{2 π}{3}$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. “ $a = b$ ”是“ $a c = b c$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $b$ 克糖水中含有 $a$ 克糖 $(b > a > 0)$ ，再添加 $m$ 克糖 $(m > 0) ($ 假设全部溶解 $)$ ，糖水变甜了 $.$ 将这一事实表示成一个不等式为（）

A、 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b}$ B、 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$ C、 $\frac{a + m}{b + m} < \frac{a}{b}$ D、 $\frac{a}{b + m} < \frac{a}{b}$

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4. 已知点 $(1 ， - 3)$ 在角 $θ$ 的终边上，则 $t a n (θ + \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $2$

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5. 如图中， $① ② ③ ④$ 中不属于函数 $y = 3^{x}$ ， $y = 2^{x}$ ， $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 中一个的是（）

A、 $①$ B、 $②$ C、 $③$ D、 $④$

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6. 已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， & x \geq 0 \\ 2 x ， & x < 0 \end{array}$ ，若 $f (a) = 5$ ，则实数 $a$ 为（）

A、 $- 2$ 或 $2$ B、 $2$ 或 $\frac{5}{2}$ C、 $- 2$ 或 $\frac{5}{2}$ D、 $2$

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7. 已知 $a = {l o g}_{5} 2$ ， $b = \frac{1}{l o g_{0.2} 0.5}$ ， $c = 8^{- \frac{1}{3}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系正确的是（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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8. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x + 1)$ 是奇函数，且函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = \frac{1}{x - 1}$ 的交点为 $(x_{1} ， y_{1}) (x_{2} ， y_{2})$ ， $\dots$ ， $(x_{m} ， y_{m})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m} =$ （）

A、 $0$ B、 $\frac{m}{2}$ C、 $m$ D、 $2 m$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知集合 $A = {x \in R | x^{2} - 1 = 0}$ ，则（）

A、 $0 \in A$ B、 $1 \in A$ C、 $A \cup {x \in R | x^{2} + 1 = 0} = A$ D、 $A \cap {x \in R | x \leq 1} = A$

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10. 下列说法正确的是（）

A、 $1080 °$ 与 $720 °$ 的终边相同 B、若 $α = 2 r a d$ ，则 $c o s α > 0$ C、若 $α$ 是第二象限角，则 $\frac{α}{2}$ 是第一象限角 D、已知某扇形的半径为 $2$ ，面积为 $π$ ，那么此扇形的弧长为 $π$

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11. 教材中用二分法求方程 $2^{x} + 3 x - 7 = 0$ 的近似解时，设函数 $f (x) = 2^{x} + 3 x - 7$ 来研究，通过计算列出了它的对应值表：

$x$

$1.25$

$1.375$

$1.40625$

$1.422$

$1.4375$

$1.5$

$f (x)$

$- 0.87$

$- 0.26$

h

$- 0.05$

$0.02$

$0.33$
分析表中数据，则下列说法正确的是（）

A、 $h > 0$ B、方程 $2^{x} + 3 x - 7 = 0$ 有实数解 C、若精确度到 $0.1$ ，则近似解可取为 $1.375$ D、若精确度为 $0.01$ ，则近似解可取为 $1.4375$

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12. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} e^{x} - 1 ， & x \geq m \\ - x^{2} - 4 x - 4 ， & x < m \end{cases}$ ，（m∈R，e为自然对数的底数），则（）

A、函数 $f (x)$ 至少有 $1$ 个零点 B、函数 $f (x)$ 至多有 $1$ 个零点 C、当 $m < - 3$ 时，若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ D、当 $m = 0$ 时，方程 $f [f (x)] = 0$ 恰有 $4$ 个不同实数根

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x - 1 < 0$ “的否定是．

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14. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，若 $f ({l o g}_{2} m) > f (1)$ ，则实数 $m$ 的取值范围为．

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15. 已知指数函数 $y = f (x)$ 和幂函数 $y = g (x)$ 的图象都过点 $P (\frac{1}{2} ， 2)$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = 4$ ，则 $x_{1} x_{2} =$ ．

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16. 立德学校为了表彰在体育运动会上表现优秀的班级，特制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形 $O A B$ 的半径为 $10$ ， $∠ P B A = ∠ Q A B = \frac{π}{3}$ ， $∠ A O B = 2 θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ ， $A Q = P Q = P B$ ，则 $P Q =$ $($ 用 $θ$ 表示 $)$ ，据调研发现，当 $O P$ 最长时，该奖杯比较美观，此时 $θ$ 的值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. $($ 本小题 $10$ 分 $)$
已知集合 $A = {x | x^{2} - 7 x + 10 < 0}$ ， $B = {x | a - 2 < x < a + 2}$ ，全集 $U = R$ ．

(1)、求 $∁_{U} A$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并根据定义证明；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上单调性，并根据定义证明．

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19. 已知角 $α$ 是第二象限角，它的终边与单位圆交于点 $P (m ， n)$ ．

(1)、若 $n = \frac{3}{5}$ ，求 $\frac{2 s i n (π + α) + c o s (- α)}{c o s (\frac{π}{2} + α) + 2 c o s α}$ 的值；

(2)、若 $c o s (α - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $m$ 的值．

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20. 某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本 $2300 ($ 万元 $)$ 引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产 $x ($ 单位：百台 $)$ 另需投入成本 $C (x) ($ 万元 $)$ ，当年产量不足 $50 ($ 百台 $)$ 时， $C (x) = 10 x^{2} + 200 x ($ 万元 $)$ ；当年产量不小于 $50 ($ 百台 $)$ 时， $C (x) = 602 x + \frac{10000}{2 x - 50} - 4500 ($ 万元 $)$ ，据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为 $600$ 万元，且依据疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完．

(1)、求年利润 $L (x) ($ 万元 $)$ 关于年产量 $x ($ 百台 $)$ 的函数解析式； $($ 利润 $=$ 销售额一投入成本 $-$ 固定成本 $)$

(2)、当年产量为多少时，年利润 $L (x)$ 最大？并求出最大年利润．

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21. 已知函数 $f (x) = 4 c o s x s i n (x + \frac{π}{3}) - \sqrt{3} ， x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期以及单调递减区间；

(2)、设函数 $g (x) = f (x + \frac{π}{12}) + 4 c o s x - 1$ ，求函数 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6}]$ 上的最大值、最小值．

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22. 定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = \{\begin{array}{l} x ， & - 1 < x < 0 \\ - a^{- x} ， & x \leq - 1 \end{array}$ ，其中 $a > 0$ ， $a \neq 1$ ，且 $f (1) = e$ ，其中 $e$ 是自然对数的底， $e = 2.71828 \dots$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、当 $x \geq 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(3)、若存在 $x_{2} > x_{1} \geq 0$ ，满足 $f (x_{2}) = e f (x_{1})$ ，求 $x_{1} \cdot f (x_{2})$ 的取值范围．

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$x$	$1.25$	$1.375$	$1.40625$	$1.422$	$1.4375$	$1.5$
$f (x)$	$- 0.87$	$- 0.26$	h	$- 0.05$	$0.02$	$0.33$