广东省揭阳市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷（含解析）.doc

试卷更新日期：2024-03-01 类型：期末考试

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一、单项选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7} ， A = {2 ， 4 ， 5 ， 7} ， B = {3 ， 4 ， 5}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B =$ （）

A、 ${3}$ B、 ${4 ， 5}$ C、 ${1 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7}$

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2. 已知条件 $p ： 2 x - 4 > 0$ ，条件 $q ： x^{2} - 5 x + 6 < 0$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) \cdot x^{m^{2} - m - 3}$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减，则 $m =$ （）

A、-1 B、3 C、1或-3 D、-1或3

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4. 函数 $f (x) = l n x + x - 4$ 的零点一定位于下列哪个区间（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(5 ， 6)$

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5. 若 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 已知 $e$ 是自然对数的底数，设 $a = l g e ， b = 2^{- \frac{1}{2}} ， c = l o g_{\frac{1}{3}} 0.2$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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7. 鹅被人类称为美善天使，它不仅象征着忠诚､长久的爱情，同时它的生命力很顽强，因此也是坚强的代表.除此之外，天鹅还是高空飞翔冠军，飞行高度可达9千米，能飞越世界最高山峰“珠穆朗玛峰”.如图是两只天鹅面对面比心的图片，其中间部分可抽象为如图所示的轴对称的心型曲线.下列选项中，两个函数的图象拼接在一起后可大致表达出这条曲线的是（）

A、 $y = | x | + \sqrt{\frac{1 - x^{2}}{2}}$ 及 $y = | x | - \sqrt{\frac{1 - x^{2}}{2}}$ B、 $y = x + \sqrt{\frac{1 - x^{2}}{2}}$ 及 $y = x - \sqrt{\frac{1 - x^{2}}{2}}$ C、 $y = | x | + \sqrt{\frac{1 + x^{2}}{2}}$ 及 $y = | x | - \sqrt{\frac{1 + x^{2}}{2}}$ D、 $y = x + \sqrt{\frac{1 + x^{2}}{2}}$ 及 $y = x - \sqrt{\frac{1 + x^{2}}{2}}$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n x + \sqrt{3} c o s x (x \in R)$ ，先将 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{3}$ （纵坐标不变），再将得到的图象上所有的点向右平移 $θ (θ > 0)$ 个单位长度，得到的图象关于 $y$ 轴对称，则 $θ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{11 π}{18}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{18}$

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二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[- 1 ， 5]$ ，其图象如图所示，则下列说法中正确的（）

A、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(0 ， 2)$ B、 $f (x)$ 的最大值为2 C、 $f (x)$ 的最小值为-1 D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(- 1 ， 0)$ 和 $(2 ， 5)$

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10. 已知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{2} ， 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > 0$ B、 $b > 0$ C、 $c > 0$ D、 $a + b + c < 0$

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11. 下列说法正确的是（）

A、如果 $α$ 是第一象限的角，则 $- α$ 是第四象限的角 B、如果 $α ， β$ 是第一象限的角，且 $α < β$ 则 $\sin α < \sin β$ C、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为 $π$ ，则该扇形面积为 $\frac{2 π}{3}$ D、若圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ，则该扇形弧长为 $\frac{8 π}{3}$

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12. 下列结论正确的有（）

A、函数 $y = \frac{x^{2} + 10}{\sqrt{x^{2} + 9}}$ 的最小值为2 B、函数 $f (x) = l o g_{a} (2 x - 1) + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图像恒过定点 $(1 ， 1)$ C、 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - m x + 1)$ 的定义域为 $R$ ，则 $m \in (- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$ D、 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - m x + 1)$ 的值域为 $R$ ，则 $m \in (- ∞ ， - 2] \cup [2 ， + ∞)$

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知 $f (x + 1) = 2 x^{2} + 1$ ，则 $f (x) =$ .

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14. 已知命题 $p ： \forall x \in R ， x^{2} + x + a \neq 0$ ，若命题 $p$ 是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，并且当 $x \in (0 ， + ∞)$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，那么 $f (l o g_{2} \frac{1}{5}) =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} 2^{- x} ， x \leq 0 \\ ln \frac{1}{x} ， x > 0 \end{cases} ，$ . $g (x) = f (x) - x - a$ 若 $g (x)$ 有2个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17.

(1)、求值： ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}} - (\sqrt{2} - 1)^{0} + \frac{1}{2} l g 25 + l g 2$ ；

(2)、已知 $t a n α = - \frac{4}{3}$ ，求 $\frac{2 s i n (π - α) + s i n (\frac{π}{2} - α)}{c o s (\frac{3 π}{2} - α) + c o s (- α)}$ 的值.

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，锐角 $α$ 和钝角 $β$ 的终边分别与单位圆交于 $A ， B$ 两点.点 $A$ 的横坐标是 $\frac{3}{5}$ ，点 $B$ 的纵坐标是 $\frac{12}{13}$ .

(1)、求 $c o s 2 α$ 的值；

(2)、求 $s i n (α + β)$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} \frac{1 + x}{1 - x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象过点 $(\frac{1}{2} ， 1)$ .

(1)、求 $a$ 的值及 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x (x \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期，并求 $f (x)$ 的最小值及取得最小值时 $x$ 的集合；

(2)、令 $g (x) = f (x + \frac{π}{8}) - 1$ ，若 $g (x) < a - 2$ 对于 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义.为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产 $x$ （单位：百辆）新能源汽车需另投入成本 $C (x)$ （单位：万元），且 $C (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 100 x (0 < x < 40) \\ 501 x + \frac{10000}{x} - 4500 (x \geq 40) \end{array}$ ，如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润 $=$ 销售额-成本）

(1)、求2023年的利润 $P (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （百辆）的函数关系式；

(2)、当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

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22. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{1 - a \cdot 2^{x}}{2^{x} + 1}$ 是奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值.

(2)、试判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明.

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $f (4^{x}) - f (9 \times 2^{x} - 8) > 0$ .

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