广东省深圳市光明区2023-2024学年高一（上）期末学业水平调研测试数学试题

试卷更新日期：2024-03-01 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. $c o s (- 120 °) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
2. $l o g_{2} 25 \times l o g_{3} 4 \times l o g_{5} 9 =$ （）

A、8 B、6 C、4 D、2

查看试题解析
3. 如果“ $x = 2 k π + \frac{π}{3}$ ， $k \in Z$ ”是“ $c o s x = \frac{1}{2}$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x + 2}}$ ， $B = {x | y = l n (1 - x)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $[- 3 ， 1)$ D、 $[- 3 ， - 2) ∪ (- 2 ， 1)$

查看试题解析
5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知角 $α$ 的始边是 $x$ 轴的非负半轴，终边经过点 $P (- 1 ， 2)$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
6. 将函数 $y = 3 s i n (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将所得图象向上平移1个单位所得图象的函数解析式为（）

A、 $y = 3 s i n (2 x + \frac{π}{12}) + 1$ B、 $y = 3 s i n (2 x - \frac{π}{12}) + 1$ C、 $y = 3 s i n (2 x + \frac{5 π}{12}) + 1$ D、 $y = 3 s i n (2 x + \frac{7 π}{12}) + 1$

查看试题解析
7. 生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率 $f$ （单位：心跳次数 $\cdot m i n^{- 1}$ ）与体重 $W$ （单位： $k g$ ）的 $\frac{1}{3}$ 次方成反比.若 $A$ 、 $B$ 为两个睡眠中的恒温动物， $A$ 的体重为 $2 k g$ 、脉搏率为210次 $\cdot m i n^{- 1}$ ， $B$ 的脉搏率是70次 $\cdot m i n^{- 1}$ ，则 $B$ 的体重为（）

A、 $6 k g$ B、 $8 k g$ C、 $18 k g$ D、 $54 k g$

查看试题解析
8. 已知 $x > - 1$ ，则 $x + \frac{2}{x + 1}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2} - 1$ D、 $2 \sqrt{2} + 1$

查看试题解析

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 过点 $(2 ， \frac{1}{4})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = x^{- 2}$ B、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ C、函数 $f (x)$ 为偶函数 D、函数 $f (x)$ 的值域为 $(0 ， + \infty)$

查看试题解析
10. 下列命题正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a < a b^{2} < a b$

查看试题解析
11. 对于给定的实数 $a$ ，关于实数 $x$ 的一元二次不等式 $a (x - a) (x - 2) < 0$ 的解集可能为（）

A、 $(- \infty ， 2) ∪ (a ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， a) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(2 ， a)$ D、 $\emptyset$

查看试题解析
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 1.2] = - 2$ ， $[1.3] = 1$ .下列说法正确的是（）

A、对于 $x$ ， $y \in R$ ，有 $[x] + [y] \leq [x + y] \leq [x] + [y] + 1$ B、如果 $n \in N^{*}$ ， $x \in R$ ，则 $[n x] \geq n [x]$ C、 $x \in R_{+}$ ， $n \in N^{*}$ ，且1至 $x$ 之间的整数中，有 $[\frac{x}{n}]$ 个是 $n$ 的倍数 D、方程 $l g^{2} x - [l g x] - 2 = 0$ 共有2个不等的实数根

查看试题解析

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知扇形的面积为 $2$ ，弧长为 $2$ ，则该扇形的圆心角为 $r a d$ .

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = 2^{x - 1}$ ，若 $f (f (a)) = 4$ ，则 $a =$ .

查看试题解析
15. 已知 $\sin (30 ° + α) = \frac{3}{5}$ ， $60 ° < α < 150 °$ ，求 $\cos α =$ ．

查看试题解析
16. 若 $x$ ， $y$ ， $z \in R^{+}$ ，且 $2^{x} = 3^{y} = 6^{z}$ ， $\frac{4 x + 9 y}{z} \in (n ， n + 1)$ ， $n \in N$ ，则 $n$ 的值为.

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 求值：

(1)、 $4 a^{\frac{2}{3}} b^{- \frac{1}{3}} \div (- \frac{2}{3} a^{- \frac{1}{3}} b^{- \frac{1}{3}})$ ；

(2)、 $l o g_{2} (4^{7} \times 2^{5})$

查看试题解析
18. 已知 $t a n α = 2$

(1)、求 $s i n 2 α$ 的值；

(2)、求 $t a n 3 α$ 的值.

查看试题解析
19. 行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某卡车的刹车距离 $s$ （单位：m）与汽车的车速 $v$ （单位： $k m / h$ ）满足下列关系： $s (v) = \frac{n}{108} v^{2} + \frac{2}{9} v$ （ $n$ 为常数）.当汽车以 $20 k m / h$ 的速度行驶时，从刹车到停车之间的距离为 $10 m$ .

(1)、求 $s (v)$ ；

(2)、若该汽车在某路面上以速度 $v$ 行驶，为保证安全，要在发现前面 $25 m$ 处有障碍物时能在离障碍物 $5 m$ 以外处停车，设司机发现障碍物到踩刹车需经过 $1 s$ ，则最高速度应低于多少?

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6}) + 2 c o s 2 x + a$ 的最大值为 $3$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和图象的对称轴；

(2)、当 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 时，求使 $f (x) \geq 2$ 成立 $x$ 的取值范围.

查看试题解析
21. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = 2 - \frac{a}{2^{x} + 1}$ 是 $R$ 上的奇函数.

(1)、求 $a$ 的值：

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性并用定义证明：

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $f (2 m - 1) + \frac{2}{3} \leq 0$ 对一切实数 $x$ 都成立，求实数 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 已知 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = l n (x - a)$

(1)、若方程 $| f (x) | = {(\frac{1}{e})}^{x}$ 有两个不等的实数根 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，比较 $x_{1} \cdot x_{2}$ 与1的大小.

(2)、若关于 $x$ 的方程 $\frac{f (x) + l n 2}{g (x)} = 2$ 有且只有一个实根，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析