贵州省铜仁市2023-2024学年高二下学期数学2月开学适应性模拟检测试卷

试卷更新日期：2024-03-01 类型：开学考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1. 已知 $\vec{a} = (1 ， - 2 ， - 1) ， \vec{b} = (- 1 ， x - 1 ， 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， + ∞)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 3) \cup (3 ， + \infty)$

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2. 各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{3} \cdot a_{8} = 100$ ，则 $l g a_{1} + l g a_{2} + \cdot \cdot \cdot + l g a_{10} =$ （）

A、9 B、10 C、11 D、 $2 + l g 5$

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3. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $M$ 是棱 $O A$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $N ， P$ 分别是 $B C ， M N$ 的中点，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{O P}$ ，则（）

A、 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ B、 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ C、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，公比为q ，则“ $S_{2} < 0$ ”是“数列 ${S_{2 n}}$ 是递减数列”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. $A ， B$ 是圆 $C_{1} ： (x - 2)^{2} + (y - m)^{2} = 4$ 上两点， $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，若在圆 $C_{2} ： (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ 上存在点 $P$ 恰为线段 $A B$ 的中点，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[1 ， 3]$ B、 $[- 5 ， 3]$ C、 $[- 5 ， - 3] \cup [1 ， 3]$ D、 $[- 4 ， - 2] \cup [2 ， 4]$

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6. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆 $C$ 于A ， B两点，若 $| A F_{1} | = 3 | A F_{2} |$ ，点 $M$ 满足 $\vec{F_{1} M} = 3 \vec{M F_{2}}$ ，且 $A M ⊥ F_{1} B$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知 $△ A B C$ 的顶点为 $A (0 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ ， $C (2 ， 4)$ ，则该三角形的欧拉线方程为（）

A、 $x + 2 y - 5 = 0$ B、 $3 x - 6 y + 1 = 0$ C、 $2 x + y - 10 = 0$ D、 $2 x - y - 10 = 0$

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8. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美。二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若二十四等边体的表面积为 $12 + 4 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $A B = 2$ B、 $B C ⊥ N F$ C、与 $A B$ 所成的角是 $\frac{π}{3}$ 的棱共有12条 D、该二十四等边体外接球的表面积为 $8 π$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4 ，$ 下列说法正确的是（）

A、过点 $P (1 ， 1)$ 作直线与圆 $O$ 交于 $A ， B$ 两点，则 $| A B |$ 范围为 $[2 \sqrt{2} ， 4]$ B、过直线 $l ： x + y - 4 = 0$ 上任意一点 $Q$ 作圆 $O$ 的切线，切点分别为 $C ， D ，$ 则直线 $C D$ 必过定点 $(1 ， 1)$ C、圆 $O$ 与圆 $C ： {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 有且仅有两条公切线，则实数 $r$ 的取值范围为 $(3 ， 5)$ D、圆 $O$ 上有4个点到直线 $l ： x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的距离等于1

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10. 已知无穷数列 ${a_{n}}$ 的前3项分别为2，4，8，…，则下列叙述正确的是（）

A、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，则 $a_{n} = 2^{n}$ B、若 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 3} = a_{n}$ ，则 $a_{2024} = 8$ C、若 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 3} = a_{n}$ ，则 $a_{2024} = 4$ D、若 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 n + a_{n}$ ，则 $a_{n} = n^{2} - n + 2$

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11. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 4 ， 0) ， F_{2} (4 ， 0)$ ，过点 $F_{2}$ 的直线与双曲线 $E$ 的右支交于 $P ， Q$ 两点， $P F_{1}$ 与 $y$ 轴相交于点 $A ， △ P A F_{2}$ 的内切圆与边 $A F_{2}$ 相切于点 $B$ ．若 $| A B | = 2$ ，则下列说法正确的有（）

A、双曲线 $E$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、若直线 $y = k x + 2$ 与双曲线 $E$ 有且仅有1个公共点，则 $k = \pm 2$ C、 $| P Q |$ 的最小值为12 D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆的圆心在定直线上

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12. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在侧面 $A A_{1} D_{1} D$ 内运动（包括边界）， $Q$ 为棱 $D C$ 中点，则下列说法正确的有（）

A、存在点 $P$ 满足平面 $P B D / /$ 平面 $B_{1} D_{1} C$ B、当 $P$ 为线段 $D A_{1}$ 中点时，三棱锥 $P - A_{1} B_{1} D_{1}$ 的外接球体积为 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ C、若 $\vec{D P} = λ \vec{D A_{1}} (0 \leq λ \leq 1)$ ，则 $| P Q | - | P B |$ 最小值为 $\frac{3}{2}$ D、若 $∠ Q P D = ∠ B P A$ ，则点 $P$ 的轨迹长为 $\frac{2}{9} π$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知数列 ${a_{n}}$ ，满足 $a_{1} = 2$ ，若 $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}}$ 的前2024项和为．

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14. 在空间直角坐标系中， $\frac{x - x_{0}}{u} = \frac{y - y_{0}}{v} = \frac{z - z_{0}}{w}$ 表示经过点 $(x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ ，且方向向量为 $(u ， v ， w)$ 的直线的方程，则点 $P (1 ， 2 ， 3)$ 到直线 $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 2}{1}$ 的距离为．

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15. 如图所示，在圆锥内放入两个球 $O_{1} ， O_{2}$ ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点圆分别为 $⊙ C_{1} ， ⊙ C_{2}$ .这两个球都与平面 $α$ 相切，切点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，丹德林（G.Dandelin）利用这个模型证明了平面 $α$ 与圆锥侧面的交线为椭圆， $F_{1} ， F_{2}$ 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为G.Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为 $3 0^{∘}$ ， $⊙ C_{1} ， ⊙ C_{2}$ 的半径分别为2，5，点 $M$ 为 $⊙ C_{2}$ 上的一个定点，点 $P$ 为椭圆上的一个动点，则从点 $P$ 沿圆锥表面到达 $M$ 的路线长与线段 $P F_{1}$ 的长之和的最小值是．

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16. 若 $m > 0$ ，则 $m^{2} + \sqrt{{(m^{2} + 2 - c o s θ)}^{2} + {(2 m - 3 - s i n θ)}^{2}}$ 的最小值是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知直线 $l_{1} ： k x - 2 y - 2 k + 4 = 0$ ，直线 $l_{2} ： k^{2} x + 4 y - 4 k^{2} - 8 = 0$ ．

(1)、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 在两坐标轴上的截距相等，求直线 $l_{2}$ 的方程．

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18. 在以下三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并完成解答.
条件：①直线的法向量为 $(- 3 ， 1)$ ；②与直线 $3 x - y + 5 = 0$ 平行；③与直线 $x + 3 y + 5 = 0$ 垂直.
题目：已知直线 $l$ 经过 $(3 ， 4)$ 且 ▲ .

(1)、求直线 $l$ 方程；

(2)、若点 $P$ 是直线 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作 $⊙ C ： x^{2} - 8 x + y^{2} + 6 y + 20 = 0$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ 两点，求四边形 $P A C B$ 的面积的最小值.

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19. 如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v ，电子狗行走速度为 $2 v$ ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点.

(1)、求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；

(2)、P为矩形场地AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP的距离为 $\frac{2}{3}$ ，且直线FP与点M的轨迹没有公共点，求P点横坐标的取值范围.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{1}}{2^{n - 1}} + \frac{2^{2} \cdot a_{2}}{2^{n - 2}} + \frac{3^{2} \cdot a_{3}}{2^{n - 3}} + ⋯ + n^{2} \cdot a_{n} = \frac{n (n + 5)}{2^{n + 2}}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{3}{2}$ ．

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21. 如图①所示，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， $∠ B = \frac{π}{3}$ ， $D E$ 垂直平分 $A B$ ．现将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使得二面角 $A - D E - B$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，得到如图②所示的四棱锥 $P - B C E D$ ．

(1)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面 $B C E D$ ；

(2)、若Q为 $P E$ 上一动点，且 $\vec{P Q} = λ \vec{P E} (0 < λ < 1)$ ，当锐二面角 $B - D Q - E$ 的余弦值为 $\frac{2}{5}$ 时，求四棱锥 $Q - B C E D$ 的体积．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右顶点分别为A、B ，过点 $M (- \frac{1}{2} ， 0)$ 的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且 $\vec{A M} = \frac{3}{5} \vec{M B}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线AP、QB的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，且 $k_{1} = λ k_{2}$ ，求 $λ$ 的值；

(3)、设 $△ P Q B$ 和 $△ P Q A$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，求 $| S_{1} - S_{2} |$ 的最大值

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贵州省铜仁市2023-2024学年高二下学期数学2月开学适应性模拟检测试卷

一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。