广东省广州市重点中学2023-2024学年高三下学期数学开学考试卷

试卷更新日期：2024-03-01 类型：开学考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目。

1. 学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩 $($ 单位：分 $)$ 分别是： $73 ， 74 ， 76 ， 82 ， 82 ， 87 ， 90 ， 91 ， 92 ， 94 ， 96 ， 98$ ，则这12名学生成绩的 $75 %$ 分位数是（）

A、92 B、87 C、93 D、91

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2. 已知双曲线 $m x^{2} + y^{2} = 1$ 的虚轴长是2，则实数m的值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{4}$

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3. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 1$ ， $a_{6} + a_{8} = - 32$ ，则 $\frac{a_{10} + a_{12}}{a_{5} + a_{7}} =$ （）

A、 $- 8$ B、16 C、32 D、 $- 32$

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4. 已知直线a和平面 $α$ ，那么能得出 $a / / α$ 的一个条件是（）

A、存在一条直线b ， $a / / b$ 且 $b \subset α$ B、存在一条直线b ， $a / / b$ 且 $b \subset α$ C、存在一个平面 $β$ ， $a \subset β$ 且 $α / / β$ D、存在一个平面 $β$ ， $a / / β$ 且 $α / / β$

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5. 包含甲同学在内的5个学生去观看滑雪、马术、气排球3场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多有2名学生前往观看，则甲同学不去观看气排球的方案种数有（）

A、120 B、72 C、60 D、54

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6. 已知点 $P (x ， y)$ 是直线 $3 x + y - 7 = 0$ 上的一点，过点P作圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y + 1 = 0$ 的两条切线，切点分别是点A ， B ，则四边形PACB的面积的最小值为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{9 \sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{9 \sqrt{6}}{4}$

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7. 已知 $α + β = \frac{π}{3} (α > 0 ， β > 0)$ ，则 $t a n α + t a n β$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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8. 已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1 (x y \neq 0)$ 上的动点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，若 $M$ 是 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线上的一点，且 $\vec{F_{1} M} \cdot \vec{M P} = 0$ ，则 $| \vec{O M} |$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， \sqrt{3})$ C、 $(0 ， 4)$ D、 $(2 ， 2 \sqrt{3})$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x) = s i n (4 x + \frac{π}{3}) + c o s (4 x - \frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、f（x）的最大值为2 B、f（x）在 $[- \frac{π}{8} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增 C、f（x）在 $[0 ， π]$ 上有4个零点 D、把f（x）的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的图象关于直线 $x = - \frac{π}{8}$ 对称

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10. 已知 $z_{1}$ ， $z_{2} \in C$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} | + | z_{2} |$ B、 $| z_{1} \cdot z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |$ C、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ D、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$

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11. 定义：已知两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ．我们把数量 $| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot s i n θ$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的叉乘 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的模，记作 $| \vec{a} \times \vec{b} |$ ，即 $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot s i n θ$ ．则下列命题中正确的有（）

A、若平行四边形ABCD的面积为4，则 $| \vec{A B} \times \vec{A D} | = 4$ B、在正△ABC中，若 $\vec{A D} = | \vec{A B} \times \vec{A C} | (\vec{A B} + \vec{A C})$ ，则 $\frac{| \vec{A D} |}{{| \vec{B C} |}^{3}} = 3$ C、若 $| \vec{a} \times \vec{b} | = \sqrt{3} ， \vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ 的最小值为2 $\sqrt{3}$ D、若 $| \vec{a} \times \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{b} \times \vec{c} | = 2$ ，且 $\vec{b}$ 为单位向量，则 $| \vec{a} \times \vec{c} |$ 的值可能为 $2 + 2 \sqrt{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知集合 $A = {x | 1 ⩽ x < 4}$ ， $B = {x | x < a}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数a的取值范围是.

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13. 已知 $f (x) = m (x - 2 m) (x + m + 3) ， g (x) = 2^{x} - 2$ ．若对任意的 $x \in R$ ，均有 $f (x) < 0$ 或 $g (x) < 0$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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14. 若数列 ${a_{n}}$ 中不超过 $f (m)$ 的项数恰为 $b_{m} (m \in N *)$ ，则称数列 ${b_{n}}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的生成数列，称相应的函数 $f (m)$ 是数列 ${a_{n}}$ 生成 ${b_{m}}$ 的控制函数.已知 $a_{n} = 2 n$ ，且 $f (m) = m$ ，数列 ${b_{m}}$ 的前m项和为 $S_{m}$ ，若 $S_{m} = 30$ ，则m的值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知函数 $f (x) = (a x + 1) e^{x}$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线的斜率为 $2 .$

(1)、求a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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16. 西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.

(1)、现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；

(2)、以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记 $ξ$ 表示抽到一等品的箱数，求 $ξ$ 的分布列和期望.

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17. 由各棱长均相等的四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截去三棱锥 $C_{1} - B_{1} C D_{1}$ 后得到的几何体如图所示，底面ABCD为正方形，点O为线段AC与BD的交点，点E为线段AD中点， $A_{1} E ⊥$ 平面 $A B C D .$

(1)、证明： $A_{1} O / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ；

(2)、若点M为线段 $O D ($ 包含端点 $)$ 上一点，求EM与平面 $B_{1} C D_{1}$ 所成角的正弦值的最大值.

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 1 ⩾ b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $I ($ 与x轴不重合 $)$ 交C于M ， N两点，且当M为C的上顶点时， $△ M N F_{1}$ 的周长为8，面积为 $\frac{8 \sqrt{3}}{7} .$

(1)、求C的方程；

(2)、若A是C的右顶点，设直线l ， AM ， AN的斜率分别为k ， $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k (\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}})$ 为定值.

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19. 对任意 $n \in N^{*}$ ，若数列 ${\begin{array}{l} x_{n} \end{array}}$ 满足 $x_{n + 1} - x_{n} > 1 ，$ 则称这个数列为“K数列”.

(1)、已知数列：1， $m + 1 ， m^{2}$ 是“K数列”，求实数m的取值范围；

(2)、是否存在首项为 $- 1$ 的等差数列 ${\begin{array}{l} a_{n} \end{array}}$ 为“K数列”，且其前n项和 $S_{n}$ 使得 $S_{n} < \frac{1}{2} n^{2} - n$ 恒成立?若存在，求出 ${\begin{array}{l} a_{n} \end{array}}$ 的通项公式；若不存在，请说明理由；

(3)、已知各项均为正整数的等比数列 ${\begin{array}{l} a_{n} \end{array}}$ 是“K数列”，数列 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} a_{n} \end{array}}$ 不是“K数列”，若 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{n + 1} ，$ 试判断数列 ${\begin{array}{l} b_{n} \end{array}}$ 是否为“K数列”，并说明理由.

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