浙江省丽水市重点中学2023-2024学年高三下学期数学开学检测试卷

试卷更新日期：2024-03-01 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 函数 $f (x) = 1 - 3^{x}$ 的值域是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $[0 ， 1)$ D、 $[0 ， 1]$

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2. 若抛物线 $y = a x^{2}$ 的焦点在直线 $y = 2 x + 3$ 上，则 $a =$ （）

A、12 B、6 C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{12}$

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3. 设点A，B在曲线 $y = l o g_{2} x$ 上．若 $A B$ 的中点坐标为 $(5 ， 2)$ ，则 $| A B | =$ （）

A、6 B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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4. 已知随机变量X服从正态分布 $N (0 ， σ^{2})$ ．若 $P (X \leq a) = \frac{5}{6}$ ，则 $P (| X | \leq a) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5. 已知 $α ， β ， γ$ 是空间中三个不同的平面，且直线 $l_{1} ， l_{2} ， l_{3}$ 分别在平面 $α ， β ， γ$ 上．设甲： $α ， β ， γ$ 两两平行；乙： $l_{1} ， l_{2} ， l_{3}$ 两两平行，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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6. 设圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l ： y = \sqrt{3} x + a (a > 0)$ 与圆O交于A，B两点，若 $△ A O B$ 是直角三角形，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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7. 设 $ω > 0$ ．已知函数 $f (x) = s i n (3 ω x - \frac{π}{4}) s i n (2 ω x + \frac{5 π}{6})$ 在区间 $(0 ， π)$ 恰有6个零点，则ω的取值范围为（）

A、 $(\frac{19}{12} ， \frac{7}{4}]$ B、 $(\frac{17}{12} ， \frac{19}{12}]$ C、 $(\frac{13}{12} ， \frac{17}{12}]$ D、 $(\frac{3}{4} ， \frac{13}{12}]$

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8. 已知：长轴与短轴长分别为 $2 a$ 与 $2 b$ 的椭圆围成区域的面积为 $π a b (a > b > 0)$ ．现要切割加工一个底面半径为1、高为2的圆柱形零件（如图所示），截面经过圆柱的一个底面中心，并且与底面所成角为 $60 °$ ．然后再对切割后得到的两个部件表面都刷上油漆，则所刷油漆的面积为（）

A、 $6 π$ B、 $7 π$ C、 $8 π$ D、 $10 π$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 设函数 $f (x) = e^{c o s x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是周期函数 C、 $f (x)$ 有最大值 D、 $f (x)$ 是增函数

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10. 设 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，q为 ${a_{n}}$ 的公比，则（）

A、 ${a_{n}^{2}}$ 为等比数列 B、 ${q S_{n}}$ 为等比数列 C、若 $q = - 1$ ，则存在 $m \in N^{*}$ 使得 $S_{m} = 0$ D、若存在 $m \in N^{*}$ 使得 $S_{m} = 0$ ，则 $q = - 1$

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11. 在正方形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 中，设D是正方形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 的内部的点构成的集合， $P_{0} \in D$ ，则集合 $S = {P | P \in D | ， P P_{0} | \leq | P A_{i} ∣ ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ 表示的平面区域可能是（）

A、四边形区域 B、五边形区域 C、六边形区域 D、八边形区域

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. $1 + (1 + x) + {(1 + \frac{x}{2})}^{2} + ⋯ + {(1 + \frac{x}{10})}^{10}$ 的展开式中x项系数为．

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13. 下列论断中：① $\frac{1}{a} > \frac{1}{| b |}$ ；② $\frac{1}{a^{2}} > \frac{1}{b^{2}}$ ；③ $b + 1 > | a |$ ；④ $b - 1 > a^{2}$ ；⑤ $b^{3} > (a - 1)^{3}$ ．
以其中一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：（作答时，请按“序号 $\Rightarrow$ 序号”的格式书写）．

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14. 在如下数表中：
其中，第1行为1，从第2行开始，每一行的左右两端都为1，而中间的数为前一行相邻两个数之和再加1．则第10行的第3个数为；当 $n \in N^{*}$ 时，第n行的各个数之和为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 设双曲线 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，斜率为1的直线l与 $Γ$ 交于 $A ， B$ 两点．当l过 $Γ$ 的右焦点F时，l与 $Γ$ 的一条渐近线交于点 $P (- \sqrt{5} ， - 2 \sqrt{5})$ ．

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、若l过点 $(- 1 ， 0)$ ，求 $| A B |$ ．

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16. 在一次知识闯关比赛的预选赛中，包含三个问题，有两种答题方案．
方案一：回答三个问题，至少答出两个问题即可晋级：
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，这两个问题都回答正确即可晋级．
假设某参赛选手回答出三个问题的概率分别是a ， b，c ，且是否回答出这三个问题相互之间没有影响．

(1)、分别求该参赛选手用方案一和方案二时能晋级的概率；

(2)、试比较该参赛选手在上述两种方案下能晋级的概率的大小．（说明理由）

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17. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + x$ ．

(1)、若 $a > \sqrt{3}$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有正的零点，证明： $f (x)$ 有极小值点，且极小值点位于区间 $[1 ， + \infty)$ ．

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18. 在凸四边形 $A B C D$ 中，记 $A B = a ， B C = b ， C D = c ， D A = d$ ，四边形 $A B C D$ 的面积为S ．已知 $B + D = 180 °$ ．

(1)、证明： $2 (a b + c d) c o s B = a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2}$ ；

(2)、设 $p = \frac{a + b + c + d}{2}$ ，
证明： $S = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d)}$ ；

(3)、若 $b = c = d = 1$ ，求四边形 $A B C D$ 面积的最大值．

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19. 数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．
集合 $H = {d + a i + b j + c k ∣ a ， b ， c ， d \in R}$ 中的元素 $α = d + a i + b j + c k$ 称为四元数，其中i，j，k都是虚数单位，d称为 $α$ 的实部， $a i + b j + c k$ 称为 $α$ 的虚部．两个四元数之间的加法定义为
$(d_{1} + a_{1} i + b_{1} j + c_{1} k) + (d_{2} + a_{2} i + b_{2} j + c_{2} k)$
$= (d_{1} + d_{2}) + (a_{1} + a_{2}) i + (b_{1} + b_{2}) j + (c_{1} + c_{2}) k$ ．
两个四元数的乘法定义为： $i j = - j i = k ， j k = - k j = i ， k i = - i k = j ， i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1$ ，四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．
对于四元数 $α$ ，若存在四元数 $β$ 使得 $α β = β α = 1$ ，称 $β$ 是 $α$ 的逆，记为 $β = α^{- 1}$ ．
实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W ．

(1)、设 $a ， b ， c ， d \in R$ ，四元数 $α = d + a i + b j + c k$ ．记 $α^{*} = d - a i - b j - c k$ 表示 $α$ 的共轭四元数．
（i）计算 $α α^{*}$ ；
（ii）若 $α \neq 0$ ，求 $α^{- 1}$ ；
（iii）若 $α \neq 0 ， β \in W$ ，证明： $α β α^{- 1} \in W$ ；

(2)、在空间直角坐标系中，把空间向量 $α = (a ， b ， c)$ 与纯四元数 $α = a i + b j + c k$ 看作同一个数学对象．设 $α ， β \in W ， γ = \frac{1}{2} (α β - β α)$ ．
（i）证明： $γ \in W$ ；
（ii）若 $α ， β$ 是平面X内的两个不共线向量，证明： $γ$ 是X的一个法向量．

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