浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期数学开学适应性考试试卷

试卷更新日期：2024-03-01 类型：开学考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0}$ ， $N = {x | y = l n (x - 1)}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $(1 ， 4)$ B、 $[1 ， 4)$ C、 $(- 1 ， 4)$ D、 $[- 1 ， 4)$

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2. 若 $(1 - 2 i) (z - 3 - 2 i) = 2 + i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 3 + 3 i$ B、 $- 3 - 3 i$ C、 $3 + 3 i$ D、 $3 - 3 i$

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3. 已知直线 $a x + y = 0$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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4. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的单位向量， $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} (λ ， μ \in R)$ ，则“ $λ > 0$ 且 $μ > 0$ ”是“ $\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = a l n | x | + \frac{1}{x}$ 的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（）

A、36 B、32 C、28 D、24

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的方程为 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ，且圆 $C$ 与 $x$ 轴交于 $M$ ， $N$ 两点，设直线 $l$ 的方程为 $y = k x (k > 0)$ ，直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $A M$ 与直线 $B N$ 相交于点 $P$ ，直线 $A M$ 、直线 $B N$ 、直线 $O P$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，则（）

A、 $k_{1} + k_{2} = 2 k_{3}$ B、 $2 k_{1} + k_{2} = k_{3}$ C、 $k_{1} + 2 k_{2} = k_{3}$ D、 $k_{1} + k_{2} = k_{3}$

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8. 已知直线 $B C$ 垂直单位圆 $O$ 所在的平面，且直线 $B C$ 交单位圆于点 $A$ ， $A B = B C = 1$ ， $P$ 为单位圆上除 $A$ 外的任意一点， $l$ 为过点 $P$ 的单位圆 $O$ 的切线，则（）

A、有且仅有一点 $P$ 使二面角 $B - l - C$ 取得最小值 B、有且仅有两点 $P$ 使二面角 $B - l - C$ 取得最小值 C、有且仅有一点 $P$ 使二面角 $B - l - C$ 取得最大值 D、有且仅有两点 $P$ 使二面角 $B - l - C$ 取得最大值

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球， $A$ 表示事件“取出的两球不同色”， $B$ 表示事件“第一次取出的是黑球”， $C$ 表示事件“第二次取出的是黑球”， $D$ 表示事件“取出的两球同色”，则（）

A、 $A$ 与 $D$ 相互独立 B、 $A$ 与 $B$ 相互独立 C、 $B$ 与 $D$ 相互独立 D、 $A$ 与 $C$ 相互独立

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10. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) + g (2 - x) = 5$ ， $g (x) - f (x - 4) = 7$ .若 $x = 2$ 是 $g (x)$ 的对称轴，且 $g (2) = 4$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $(3 ， 6)$ 是 $g (x)$ 的对称中心 C、2是 $f (x)$ 的周期 D、 $\sum_{k = 1}^{22} g (k) = 130$

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11. 在平面直角坐标系中，将函数 $f (x)$ 的图象绕坐标原点逆时针旋转 $α (0 < α \leq 90 °)$ 后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 $f (x)$ 为“ $α$ 旋转函数”.那么（）

A、存在 $90 °$ 旋转函数 B、 $80 °$ 旋转函数一定是 $70 °$ 旋转函数 C、若 $g (x) = a x + \frac{1}{x}$ 为 $45 °$ 旋转函数，则 $a = 1$ D、若 $h (x) = \frac{b x}{e^{x}}$ 为 $45 °$ 旋转函数，则 $- e^{2} \leq b \leq 0$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卡中的横线上。

12. $(2 + \frac{x}{y}) {(x - 2 y)}^{6}$ 的展开式中 $x^{4} y^{2}$ 的系数为.（用数字作答）

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13. 已知 $F$ 为抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，直线 $x = t$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ ， $A F$ 与 $C$ 的另一个交点为 $D$ ， $B F =$ 与 $C$ 的另一个交点为 $E$ .若 $△ A B F$ 与 $△ D E F$ 的面积之比为4，则 $t =$ .

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14. 设严格递增的整数数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{20}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{20} = 40$ .设 $f$ 为 $a_{1} + a_{2}$ ， $a_{2} + a_{3}$ ， …， $a_{19} + a_{20}$ 这19个数中被3整除的项的个数，则 $f$ 的最大值为，使得 $f$ 取到最大值的数列 ${a_{n}}$ 的个数为.

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四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B D$ ， $A C = A D$ ， $A B = B D$ .

(1)、证明： $B C ⊥ B D$ ；

(2)、求二面角 $A - C D - B$ 的余弦值.

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16. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 2$ .

(1)、若 $s i n B + s i n C = 2 s i n A$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $s i n B - s i n C = \frac{3}{4}$ ，求 $b$ .

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17. 设 $0 < x < \frac{π}{2}$ .

(1)、若 $t a n x = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{c o s 4 x - 4 c o s 2 x + 3}{c o s 4 x + 4 c o s 2 x + 3}$ ；

(2)、证明： $\frac{t a n x - x}{x - s i n x} > 2$ ；

(3)、若 $t a n x + 2 s i n x - a x > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 设离散型随机变量 $X$ 和 $Y$ 有相同的可能取值，它们的分布列分别为 $P (X = a_{k}) = x_{k}$ ， $P (Y = a_{k}) = y_{k}$ ， $x_{k} > 0$ ， $y_{k} > 0$ ， $k = 1$ ， 2，…， $n$ ， $\sum_{k = 1}^{n} x_{k} = \sum_{k = 1}^{n} y_{k} = 1$ .指标 $D (X ‖ Y)$ 可用来刻画 $X$ 和 $Y$ 的相似程度，其定义为 $D (X ‖ Y) = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} l n \frac{x_{k}}{y_{k}}$ .
设 $X ~ B (n ， p)$ ， $0 < p < 1$ .

(1)、若 $Y ~ B (n ， q)$ ， $0 < q < 1$ ，求 $D (X ‖ Y)$ ；

(2)、若 $n = 2$ ， $P (Y = k - 1) = \frac{1}{3}$ ， $k = 1$ ， 2，3，求 $D (X ‖ Y)$ 的最小值；

(3)、对任意与 $X$ 有相同可能取值的随机变量 $Y$ ，证明： $D (X ‖ Y) \geq 0$ ，并指出取等号的充要条件.

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19. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左焦点为 $F$ ， $P$ 为曲线 $E$ ： $\frac{x^{2} + 4 x}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 0$ 上的动点，且点 $P$ 不在 $x$ 轴上，直线 $F P$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、证明：曲线 $E$ 为椭圆，并求其离心率；

(2)、证明： $P$ 为线段 $A B$ 的中点；

(3)、设过点 $A$ ， $B$ 且与 $A B$ 垂直的直线与 $C$ 的另一个交点分别为 $M$ ， $N$ ，求 $△ P M N$ 面积的取值范围.

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