广东省阳江市2023-2024学年高一（上）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-01 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {1 ， 5 ， a^{2}} ， B = {1 ， 2 a + 3}$ ，且 $B ⊆ A$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、1 C、-3 D、3

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2. “不等式 $a x^{2} + 2 a x - 1 < 0$ 恒成立”的一个充分不必要条件是（）

A、 $- 1 \leq a < 0$ B、 $a \leq 0$ C、 $- 1 < a \leq 0$ D、 $- 1 < a < 0$

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3. 已知 $a < b$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a c < b c$ B、 $a < b + 1$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$

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4. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (2 a - 3) x + 2 ， x \leq 1 \\ \frac{a}{x} ， x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $0 < a < \frac{3}{2}$ B、 $1 \leq a < \frac{3}{2}$ C、 $1 < a \leq \frac{3}{2}$ D、 $1 < a < \frac{3}{2}$

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5. 设函数 $f (x) = 2 f (\frac{1}{x}) \cdot l g x + 1$ ，则 $f (10)$ 等于（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $10$

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6. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 \\ | l o g_{\frac{1}{3}} x | ， x > 0 \end{array}$ ，若 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 互不相等，且 $f (a) = f (b) = f (c) = f (d)$ ，则 $a + b + c + d$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2，3)$ B、 $(0 ， \frac{1}{3})$ C、 $(- 1，2)$ D、 $(0 ， \frac{4}{3})$

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7. 设 $a = 2^{0.8} ， b = (\frac{1}{2})^{- 0.9} ， c = l o g_{0.6} 0.7$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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8. 某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染 $.$ 已知过滤过程中废气的污染物数量 $P ($ 单位： $m g / L)$ 与过滤时间 $t ($ 单位： $h)$ 的关系为 $P (t) = P_{0} e^{- k t} (P_{0} ， k$ 是正常数 $) .$ 若经过 $10 h$ 过滤后消除了 $20 %$ 的污染物，则污染物减少 $50 %$ 大约需要 $($ 参考数据： ${l o g}_{2} 5 \approx 2.322)$ （）

A、 $30 h$ B、 $31 h$ C、 $32 h$ D、 $33 h$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列不等式的解集为 $R$ 的是（）

A、 $x^{2} + 6 x + 11 > 0$ B、 $x^{2} - 3 x - 3 < 0$ C、 $- x^{2} + x - 2 < 0$ D、 $x^{2} + 2 \sqrt{5} x + 5 \geq 0$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{| x | + 1}$ ，则函数具有下列性质（）

A、 $f (x)$ 为 $(- \infty ， + \infty)$ 上的奇函数 B、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是递减函数 C、 $f (x)$ 的值域为 $(- 1，1)$ D、 $f (x)$ 的图象关于 $(- 1，1)$ 对称

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11. 已知函数 $f (x) = | a x + 1 | - | a x - 1 | (x \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数 B、当 $a = 1$ 时， $f (x) < 1$ 的解集为 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ C、当 $a < 0$ 时， $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减 D、当 $a \neq 0$ 时， $y = f (x)$ 值域为 $[- 2，2]$

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12. 若 $a = 2^{0.6}$ ， $b = 4^{0.4}$ ， $c = 3^{0.8}$ ，则（）

A、 $a < b$ B、 $b > c$ C、 $a b < c^{2}$ D、 $b^{2} < a c$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 关于 $x$ 的不等式 $| x - 1 | + | x - a | \geq a$ 的解集是 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 已知对任意实数 $x$ ，不等式 $a x^{2} + a x + 1 > 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 已知点 $(2，1)$ 在函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x \leq a \\ 2^{x} - 3 ， x > a \end{array}$ 的图像上，且 $f (x)$ 有最小值，则常数 $a$ 的一个取值为．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m x + n (m ， n \in R)$ 在区间 $(1，2)$ 内有两个零点，则 $2 m - n$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 ${x | 1 \leq x \leq 3}$ ．

(1)、求关于 $x$ 的不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集；

(2)、求 $y = \frac{b^{2} + {(c + 1)}^{2}}{a}$ 的最小值．

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18. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ， $B = {x | 2 a - 3 < x < 2 a + 1}$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 2，2]$ 上的偶函数，当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（Ⅱ）若 $f (a + 1) - f (2 a - 1) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上的单调性，并利用单调性定义进行证明；

(2)、函数 $g (x) = x^{2} - 4 x + 6$ ，若对任意的 $x_{1} \in [1，4]$ ，总存在 $x_{2} \in [0，2]$ ，使得 $g (x_{1}) = m f (x_{2}) + 7 - 3 m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂 $.$ 经过市场调查，生产需投入的年固定成本为 $20$ 万元，每生产 $x$ 万件，需另投入的流动成本为 $W (x)$ 万元，在年产量不足 $8$ 万件时， $W (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 2 x - 50 ($ 万元 $) .$ 在年产量不小于 $8$ 万件时， $W (x) = 8 x + \frac{200}{x} - 120 ($ 万元 $) .$ 每件产品的售价为 $6$ 元 $.$ 通过市场分析，该厂生产的果袋当年全部售完．

(1)、写出年利润 $Q (x) ($ 万元 $)$ 关于年产量 $x ($ 万件 $)$ 的函数解析式；
$($ 注：年利润 $=$ 年销售收入 $-$ 固定成本 $-$ 流动成本 $)$

(2)、当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 3 x + 2$ ．

(1)、若 $a \geq \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 在 $[1，3]$ 的最小值；

(2)、若 $a \neq 0$ ，且对于 $\forall x \in (2，4]$ ，有 $f (x) \geq - (a + 2) x - a$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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