广东省深圳市罗湖区2023-2024学年高二（上）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-01 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(1，0)$ B、 $(- 1，0)$ C、 $(0 ， - \frac{1}{16})$ D、 $(0 ， \frac{1}{16})$

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2. 已知直线 $l$ 的方向向量为 $(\sqrt{3} ， - 1)$ ，则 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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3. 设平面 $α$ 和 $β$ 的法向量分别为 $\vec{m} = (1，2 ， - 3) ， \vec{n} = (- 2 ， k ， 6) .$ 若 $α ⊥ β$ ，则 $k =$ （）

A、 $4$ B、 $- 4$ C、 $10$ D、 $- 10$

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $2 a_{6} = a_{9} + 4$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、 $18$ B、 $19$ C、 $20$ D、 $21$

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2 x}$

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6. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是 $A D_{1}$ 中点，则异面直线 $C M$ 与 $A B_{1}$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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7. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 为 $E$ 的上顶点，点 $Q$ 在 $E$ 上且满足 $\vec{F_{1} P} = 3 \vec{F_{2} Q}$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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8. 已知 $S_{n}$ 是公比不为 $1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则“ $a_{6}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 成等差数列”是“对任意 $k \in N^{*}$ ， $S_{6 + k}$ ， $S_{9 + k}$ ， $S_{5 + k}$ 成等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 在棱长为 $2$ 的正四面体 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $A B$ ， $A D$ ， $D C$ 的中点 $.$ 则下列各式成立的是（）

A、 $\vec{A E} - \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{A D}) = \vec{G E}$ B、 $\vec{A D} \cdot \vec{D B} = 2$ C、 $\vec{E F} \cdot \vec{A C} = 0$ D、 $\vec{A D} = 2 \vec{E G}$

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10. 已知直线 $l$ ： $m x - y + 2 - 4 m = 0 (m \in R)$ 与圆 $D$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 24 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、圆 $D$ 的面积为 $25 π$ B、 $l$ 过定点 $(4，2)$ C、 $△ A B D$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{39}$ D、 $4 \sqrt{3} \leq | A B | \leq 10$

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{8} < 0$ ， $S_{9} > 0$ ，则（）

A、 $a_{1} < 0$ B、 $d < 0$ C、 $S_{n}$ 的最小值为 $S_{4}$ D、 $\frac{S_{n}}{a_{n}}$ 的最小值为 $\frac{S_{5}}{a_{5}}$

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12. 过抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x$ 上一点 $M (1，2)$ 作两条相互垂直的直线，与 $E$ 的另外两个交点分别为 $A$ ， $B$ ，则（）

A、 $E$ 的准线方程为 $x = - 2$ B、过点 $M$ 与 $E$ 相切的直线方程为 $y = x + 1$ C、直线 $A B$ 过定点 $(5 ， - 3)$ D、 $\frac{1}{| M A |^{2}} + \frac{1}{| M B |^{2}}$ 的最小值为 $\frac{1}{32}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 直线 $l_{1}$ ： $a x + y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $4 x + a y + 2 = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为．

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14. 圆 $x^{2} + y^{2} = 36$ 与圆 $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 81$ 的公共弦的长为．

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15. 已知数 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 5 a_{n} + 12$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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16. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 只有一个公共点 $P$ ，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} a_{3} = a_{8}$ ， $S_{6} = 4 S_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = l g \frac{a_{n}}{a_{n + 2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

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18. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $O$ 为 $B D_{1}$ 的中点，点 $E$ 在棱 $A A_{1}$ 上，且 $O E ⊥ B D_{1}$ ．

(1)、证明： $O E / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $E C_{1}$ 与平面 $B E D_{1}$ 所成角的余弦值．

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19. 已知动点 $P$ 到直线 $x = - 4$ 的距离比到点 $M (2，0)$ 距离多 $2$ 个单位长度，设动点 $P$ 的轨迹为 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、已知过点 $N (4，0)$ 的直线 $l$ 交 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，且 $△ O A B (O$ 为坐标原点 $)$ 的面积为 $32$ ，求 $l$ 的方程．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 4 (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 4$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{(2 n - 1) \cdot a_{n}}{4}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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21. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C ⊥$ 侧面 $A C C_{1} A_{1}$ ， $A C = A A_{1} = 2$ ， $B C = 1$ ， $∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若三棱锥 $A - B B_{1} C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3} ， ∠ A_{1} A C$ 为锐角，求平面 $A B_{1} C_{1}$ 与平面 $A B B_{1}$ 的夹角的余弦值．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长 $2 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $A (3，0)$ 的直线与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点， $P$ 关于 $x$ 轴对称的点为 $R$ ，求 $△ A R Q$ 面积的最大值．

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