湖南省名校联考联合体2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $M = {x ∣ | x - 1 | \leq 1} ， S = {x \in N ∣ x < 2}$ ，那么 $M \cap S =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${x | 0 \leq x < 2}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. 命题“ $\exists x \geq 0 ， 2^{x} + x - 1 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \geq 0 ， 2^{x} + x - 1 \geq 0$ B、 $\exists x_{0} \geq 0 ， 2^{x_{0}} + x_{0} - 1 \geq 0$ C、 $\forall x < 0 ， 2^{x} + x - 1 \geq 0$ D、 $\exists x_{0} < 0 ， 2^{x_{0}} + x_{0} - 1 < 0$

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3. 将函数 $y = 2 s i n (3 x - \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，所得图象对应的函数为（）

A、 $y = 2 s i n 3 x$ B、 $y = 2 s i n (3 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 s i n (3 x - \frac{π}{3})$ D、 $y = 2 s i n (3 x - \frac{2 π}{3})$

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4. 三个数 $l o g_{π} 0.1$ ， $0 . 1^{π}$ ， $t a n \frac{5 π}{12}$ 的大小关系是（）

A、 $l o g_{π} 0.1$ $< t a n \frac{5 π}{12} <$ $0 . 1^{π}$ B、 $l o g_{π} 0.1$ $<$ $0 . 1^{π}$ $<$ $t a n \frac{5 π}{12}$ C、 $t a n \frac{5 π}{12}$ $<$ $l o g_{π} 0.1$ $<$ $0 . 1^{π}$ D、 $t a n \frac{5 π}{12}$ $<$ $0 . 1^{π}$ $<$ $l o g_{π} 0.1$

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5. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x}{e^{x}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知角 $α$ 的终边在直线 $y = 3 x$ 上，则 $s i n α =$ （）

A、 $\pm \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $\pm 3$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、3

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7. 用二分法求函数 $f (x) = e^{x} - x - 2$ 的一个正零点的近似值（精确度为 $0.1)$ 时，依次计算得到如下数据； $f (1) \approx - 0.28 ， f (1.5) \approx 0.98 ， f (1.25) \approx 0.24 ， f (1.125) \approx - 0.04$ ，关于下一步的说法正确的是（）

A、已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B、已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C、没有达到精确度的要求，应该接着计算 $f (1.1875)$ D、没有达到精确度的要求，应该接着计算 $f (1.0625)$

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8. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} c o s (ω x - \frac{π}{4})$ ，其中 $ω > 0$ .若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{3}]$ B、 $[\frac{3}{4} ， \frac{5}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{5}{3}]$ D、 $(0 ， 1]$

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二、多选题

9. 下列命题中，正确的是（）

A、如果 $a > b$ ， $c < d$ ，那么 $a - c > b - d$ B、如果 $a > b > 0$ ，那么 $\frac{1}{a^{2}} > \frac{1}{b^{2}}$ C、若 $- 1 < a < 5$ ， $2 < b < 3$ ，则 $- 3 < a - b < 2$ D、如果 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ， $e < 0$ ，那么 $\frac{e}{a - c} > \frac{e}{b - d}$

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10. 下列各项不正确的是（）

A、 $\sqrt[8]{y^{2}} = y^{\frac{1}{4}}$ B、 ${(l o g_{2} 3)}^{2} = 2 l o g_{2} 3$ C、 $\sqrt[n]{a^{n}} = a$ D、 $l o g_{4} 27 \cdot l o g_{25} 8 \cdot l o g_{9} 5 = \frac{9}{8}$

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11. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 2$ ，则（）

A、 $a b \leq 1$ B、 $0 < 2^{a - b} < 4$ C、 $2^{a} + 2^{b} \geq 4$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 2$

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12. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω_{1} x + φ) (A > 0 ， ω_{1} > 0 ， π < φ < 2 π) ， g (x) = A s i n (ω_{2} x + \frac{π}{6}) (ω_{2} > 0)$ ，且函数 $f (x)$ 的图像如图所示，则（）

A、 $A = 2 ， ω_{1} = 1 ， φ = \frac{5 π}{3}$ B、若 $ω_{2} = ω_{1}$ ，则 $f (x) + g (x) = 0$ C、已知 $ω_{2} = 2$ ，若 $g (x - a)$ 为偶函数，则 $a = - \frac{π}{6} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ D、若 $g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有两个零点，则 $ω_{2}$ 的取值范围为 $(\frac{11}{6} ， \frac{17}{6}]$

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三、填空题

13. 化简： $\frac{s i n (π + α) c o s (3 π + α) c o s (\frac{π}{2} + α)}{c o s (6 π + α) s i n (\frac{5}{2} π - α) s i n (- π - α)} =$ .

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14. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧 $\overset{⌢}{A B}$ 和弦 $A B$ 所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为 $\frac{π}{2}$ ，扇形的面积为 $3 π$ ，则此弧田的面积为.

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15. 函数 $y = | l o g_{8} x | - c o s x$ 的零点个数为.

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16. 已知函数 $f (x) = l n (\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x}{e})$ ，若 $f (a + 1) + f (3 a + 1) + 2 > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 1 - m \leq x \leq 2 + 2 m} ， B = {x | 1 \leq 2^{x} \leq 64}$ .

(1)、若 $A \cap B = {x ∣ 0 \leq x \leq 4}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、“ $x ∈ B$ ”是“ $x ∈ A$ ”的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知 $f (x) = a x^{2} - 2 a x - 3 (a \in R)$ .

(1)、若不等式 $a x^{2} - 2 a x - 3 < 0$ 的解集是 ${x ∣ - 1 < x < 3}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若不等式 $f (x) < x - 1$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知 $\frac{2 c o s α - s i n α}{s i n α - c o s α} = 2 ， c o s (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，且 $α ， β$ 均为锐角.

(1)、求 $t a n α$ 的值；

(2)、求 $s i n 2 α$ 的值；

(3)、求 $t a n β$ 的值.

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20. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ （单位： $m / s$ ）满足方程 $v = \frac{1}{2} l o g_{3} \frac{x}{100} - l g x_{0}$ ，其中 $x$ 表示鲑鱼耗氧量的单位数， $x_{0}$ 表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差.

(1)、当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为 $1.3 m / s$ ，求此时 $x_{0}$ 的值；

(2)、当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？

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21. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (\frac{π}{2} - x) s i n (\frac{π}{2} + x) - 1 + 2 \sqrt{3} s i n x c o s x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 的最大值和最小值；

(3)、荐 $g (x) = f (x) - \frac{6}{5}$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上恰有两个零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求 $s i n (x_{1} - x_{2})$ 的值.

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22. 已知 $f (x) = \frac{(m - 1) x}{2 m \cdot e^{x} - 2}$ ， $g (x) = \frac{x e^{x}}{e^{a x} - 1}$ ，且 $g (x)$ 为偶函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若方程 $f (x) = g (x)$ 有且只有一个实数解，求实数 $m$ 的取值范围.

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