贵州省六盘水市2023-2024学年高一上学期1月期末质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-03-01 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1} ， B = {1 ， 2}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 设命题 $p ： \forall x > 0 ， e^{x} - l n x > 2$ ，则 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall x \leq 0 ， e^{x} - l n x > 2$ B、 $\forall x > 0 ， e^{x} - l n x \leq 2$ C、 $\exists x > 0 ， e^{x} - l n x \leq 2$ D、 $\exists x \leq 0 ， e^{x} - l n x \leq 2$

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3. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ 的定义域为（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $(- \infty ， 1)$

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4. “ $x = \frac{π}{6}$ ”是“ $t a n x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 达-芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来引无数观赏者对其进行研究．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧，并测得圆弧 $A C$ 所对的圆心角 $α$ 为 $60 °$ ，弦 $A C$ 的长为 $10 c m$ ，根据测量得到的数据计算：《蒙娜丽莎》缩小影像作品中圆弧 $A C$ 的长为（）（单位： $c m$ ）

A、 $600 π$ B、 $\frac{100}{3} π$ C、 $\frac{10}{3} π$ D、 $\frac{5}{3} π$

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6. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1 ， l o g_{a} \frac{1}{3} > 1 ， a^{\frac{1}{5}} < 1$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{5} ， \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{1}{5} ， 1)$ C、 $(\frac{1}{3} ， 1)$ D、 $(1 ， 3)$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ ，则 $f (\frac{1}{2024}) + f (\frac{1}{2023}) + ⋯ + f (\frac{1}{2}) + f (0) + f (2) + ⋯ + f (2023) + f (2024) =$ （）

A、0 B、1 C、2024 D、2025

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8. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：
① $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{2} - x_{1}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ；
② $\forall x \in R$ ，都有 $f (x - 1) + f (1 - x) = 0$ ．
若 $f (a^{2} - 5 a b) + f (8 b^{2} - a b) \geq 0 (a b > 0)$ ，则 $\frac{a}{a + b}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{2}{3} ， \frac{4}{5}]$ B、 $(0 ， \frac{2}{3}] ∪ [\frac{4}{5} ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{5} ， \frac{1}{3}]$ D、 $(0 ， \frac{1}{5}] ∪ [\frac{1}{3} ， + \infty)$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 下列各组函数中，函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x^{0} ， g (x) = 1$ B、 $f (x) = | x | ， g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = x ， g (x) = (\sqrt[3]{x})^{3}$ D、 $f (x) = x^{2} ， g (x) = (x + 1)^{2}$

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10. 已知 $a ， b ， c \in R$ 且 $0 < a < b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b - a}$ C、 $a c < b c$ D、 $a + c < b + c$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{α}$ （ $α$ 为常数），则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象恒过定点 $(1 ， 1)$ B、当 $α = - 1$ 时，函数 $f (x)$ 是减函数 C、当 $α = 3$ 时，函数 $f (x)$ 是奇函数 D、当 $α = \frac{1}{2}$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为 $(0 ， + \infty)$

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12. 一般地，若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a ， b]$ ，值域为 $[k a ， k b]$ ，则称 $[a ， b]$ 为 $f (x)$ 的“ $k$ 倍美好区间”，特别地，当 $k = 1$ 时，则称 $[a ， b]$ 为 $f (x)$ 的“完美区间”．则下列说法正确的是（）

A、若 $[1 ， b]$ 为函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ 的“完美区间”，则 $b = 2$ B、函数 $f (x) = l o g_{2} x$ ，存在“ $\frac{1}{2}$ 倍美好区间” C、函数 $f (x) = | 2^{x} - 2 |$ ，不存在“完美区间” D、函数 $f (x) = 2 x$ ，有无数个“2倍美好区间”

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 函数 $f (x) = a^{x - 1} + 2 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图像恒过定点．

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14. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 3$ ，则 $a b$ 的最大值为．

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15. 德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”； $f (x) = [x] ， [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如， $[- 2.5] = - 3 ， [2.5] = 2$ ，则不等式 $2 - [x] \geq 0$ 的解集为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} (- x) | ， x < 0 ， \\ - x^{2} + 2 x ， x \geq 0 . \end{array}$ 关于 $x$ 的方程 $f (x^{2} - 1) = a (a \in R)$ 的实数根的个数为 $n$ ，则 $n$ 的所有可能取值组成的集合为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知集合 $A = {x | 2 a < x < a + 1} ， B = {x | - 4 < x < 2}$ ．

(1)、若 $a = - 3$ ，求 $C_{R} (A ∩ B)$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求 $a$ 的取值范围．

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18.

(1)、计算： $e^{l n 2} + l g \sqrt{10} - 0.12 5^{\frac{1}{3}} - π^{0}$

(2)、已知 $s i n θ = \frac{3}{5} ， θ$ 是第二象限角，求 $\frac{s i n (2 π + θ)}{c o s (\frac{π}{2} + θ) c o s (π - θ)}$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ．

(1)、求 $f (- 1)$ 的值，并作出函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3 ， 3]$ 上的大致图象；

(2)、根据定义证明 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 3]$ 上单调递增．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (2 ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $ω$ 的值，并求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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21. 近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为 $5 G$ ，但这并没有让华为却步.2023年8月30日，据华为官网披露，上半年华为营收3082.90亿元，上年同期为2986.80亿元，净利润为465.23亿元，上年同期为146.29亿元．为了进一步提升市场竞争力，再创新高，华为旗下某一子公司计划在2024年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，2024年生产此款手机 $x$ （单位：千部）需要投入两项成本，其中固定成本为200万元，其它成本为 $R (x)$ （单位：万元），且 $R (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 50 x ， 0 < x < 50 ， \\ 651 x + \frac{10000}{x} - 9480 ， x \geq 50 . \end{array}$ 假设每部手机售价0.65万元，全年生产的手机当年能全部售完．

(1)、写出此款手机的年利润 $W (x)$ （单位：万元）关于年产量 $x$ （单位：千部）的函数解析式；（利润=销售额-成本）

(2)、根据（1）中模型预测2024年此款手机产量为多少（单位：千部）时，所获利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = l n (m x + 2) - l n (x + 2)$ ，其中 $m < 0$ 且 $f (1) + f (- 1) = 0$ ．

(1)、求 $m$ 的值，判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、函数 $g (x) = f (2^{x}) + l n (2^{x} + 2^{a})$ 有零点，求 $a$ 的取值范围．

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