广东省河源市紫金县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-01 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在下列各组数中，是勾股数的是（）

A、1，2，3 B、0.3，0.4，0.5 C、6，8，10 D、4，5，6

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{(- 3)^{2}} = - 3$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{3} \times 5 \sqrt{2} = 5 \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 2$

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3. 若点 $P$ 在 $x$ 轴的下方、 $y$ 轴的左方，到每条坐标轴的距离都是5，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(5 ， 5)$ B、 $(- 5 ， 5)$ C、 $(- 5 ， - 5)$ D、 $(5 ， - 5)$

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4. 在平面直角坐标系中，点 $P (3 ， - 3)$ 与点 $P_{1}$ 关于 $x$ 轴对称，则点 $P_{1}$ 的坐标是（）

A、 $(- 3 ， 3)$ B、 $(3 ， 3)$ C、 $(- 3 ， - 3)$ D、 $(3 ， - 3)$

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5. 如图，下列条件中，不能判断直线 $a / / b$ 的是（）

A、 $∠ 1 + ∠ 3 = 180 °$ B、 $∠ 2 = ∠ 3$ C、 $∠ 4 = ∠ 5$ D、 $∠ 4 = ∠ 6$

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6. 下列关于一次函数 $y = - 3 x + 1$ 的说法中，正确的是（）

A、图象必经过点 $(1 ， 4)$ B、图象经过一、二、三象限 C、当 $x > 1$ 时， $y < - 2$ D、 $y$ 随 $x$ 的增大而增大

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7. 已知 ${\begin{array}{l} x = 1 ， \\ y = - 1 \end{array}$ 和 ${\begin{array}{l} x = 2 ， \\ y = 1 \end{array}$ 是二元一次方程 $a x + b y = 3$ 的两个解，则 $a$ ， $b$ 的值分别为（）

A、 $2$ ， $- 1$ B、 $- 2$ ， C、 $- 1$ ， $2$ D、， $- 2$

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8. 某校篮球队有14名队员，队员的年龄情况统计如下表：
年龄/岁
15
16
17
18
人数
3
4
5
2
则这14名队员年龄的中位数和众数分别是（）

A、17，16 B、16.5，17 C、16，17 D、16.5，16

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9. 某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是（）

A、310元 B、300元 C、290元 D、280元

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10. 两条直线 $y_{1} = m x - n$ 与 $y_{2} = n x - m$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

11. 比较实数的大小：4 $\sqrt{15}$ （填“>”“<”或“=”）.

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12. 有一组数据：1，3，5，则这组数据的方差是.

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13. 若 $| a - 3 | + \sqrt{b + 5} = 0$ ，则 $a - b$ 的立方根是.

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14. 如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是.

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15. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱.问人数、物品的价格分别是多少？”设该问题中的人数为 $x$ 人，物品的价格为 $y$ 钱，则可列二元一次方程组为.

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16. 如图，在平面直角坐标系中，直线为正比例函数 $y = x$ 的图象，点 $A_{1}$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，过点 $A_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交直线于点 $D_{1}$ ，以 $A_{1} D_{1}$ 为边作第一个正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ；过点 $C_{1}$ 作直线的垂线，垂足为点 $A_{2}$ ，交 $x$ 轴于点 $B_{2}$ ，以 $A_{2} B_{2}$ 为边作第二个正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ；过点 $C_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $A_{3}$ ，交直线于点 $D_{3}$ ，以 $A_{3} D_{3}$ 为边作第三个正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ ， …，依此类推，则第2024个正方形 $A_{2024} B_{2024} C_{2024} D_{2024}$ 的面积是.

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三、解答题：本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 计算： ${(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2} - \sqrt{24} + \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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18. 解二元一次方程组： ${\begin{array}{l} 2 x - y = 5 ① ， \\ 5 x + 3 y = 7 ② . \end{array}$

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 3 ， 2)$ ， $B (- 4 ， - 3)$ ， $C (- 2 ， - 2)$ .

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

(2)、在 $y$ 轴上有一点 $P$ ，则 $P A + P B$ 的最小值是.

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20. 某校八年级260名学生开展“好书伴成长”读书活动，要求每人每学期至少阅读4~7本课外读物，学期结束后随机抽查了若干名学生每人阅读课外书的数量，并分为四种类型， $A$ ：4本； $B$ ：5本； $C$ ：6本； $D$ ：7本，将各类的人数绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图.
图1 图2

(1)、求这次被调查学生的人数；

(2)、写出被调查学生每人阅读课外书数量的众数、中位数；

(3)、求被调查学生每人阅读课外书数量的平均数，并估计这260名学生阅读课外书的总数.

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21. 电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法.若某户居民每月应交电费 $y$ （元）与用电量 $x$ （度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题：

(1)、分别求出当 $0 \leq x \leq 100$ 和 $x > 100$ 时， $y$ 与 $x$ 的函数关系式.

(2)、若该用户某月用了72度电，则应缴费多少元？

(3)、若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？

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22.
图1 图2

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $A C = 13$ ， $A D = 5$ ， $C D = 12$ ， $B C = 20$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、如图2，在 $△ E F G$ 中， $E F = 13$ ， $E G = 20$ ， $F G = 11$ ，求 $△ E F G$ 的面积.

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23. 如图， $E$ 为 $A C$ 上一点， $A C ⊥ B C$ ， $A C ⊥ A D$ ， $A B = D E$ ， $A B$ ， $D E$ 交于点 $F$ ，且 $A B ⊥ D E$ .

(1)、判断线段 $B C$ ， $D A$ ， $C E$ 的数量关系，并说明理由；

(2)、连接 $B D$ ， $B E$ ，若设 $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ，利用此图证明勾股定理.

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24. 已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 70 °$ ， $∠ A C B = 36 °$ ， $D$ 为边 $B C$ 延长线上一点， $B M$ 平分 $∠ A B C$ ， $E$ 为射线 $B M$ 上一点.

(1)、如图，连接 $C E$ ， ①若 $C E / / A B$ ，求 $∠ B E C$ 的度数；
②若 $C E$ 平分 $∠ A C D$ ，求 $∠ B E C$ 的度数.

(2)、若直线 $C E$ 垂直于 $△ A B C$ 的一边，求 $∠ B E C$ 的度数.

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25. 如图，在平面直角坐标系内，点 $O$ 为坐标原点，经过点 $A (- 1 ， 3)$ 的直线交 $x$ 轴正半轴于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ， $O B = O C$ ，直线 $A D$ 交 $x$ 轴负半轴于点 $D (- 3 ， 0)$ .
备用图

(1)、直线 $A B$ 的解析式为；直线 $A D$ 的解析式为.

(2)、横坐标为 $m$ 的点 $P$ 在线段 $A B$ 上（不与点 $A$ ， $B$ 重合），过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交 $A D$ 于点 $E$ ，设 $P E$ 的长为 $y (y \neq 0)$ ，求 $y$ 与 $m$ 之间的函数关系式并直接写出相应的 $m$ 的取值范围.

(3)、在（2）的条件下，在 $x$ 轴上是否存在点 $F$ ，使 $△ P E F$ 为等腰直角三角形？若存在，求出点 $F$ 的坐标，若不存在，请说明理由.

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年龄/岁	15	16	17	18
人数	3	4	5	2