山西省朔州市多校2023-2024学年八年级上学期数学月考考试试卷

试卷更新日期：2024-03-01 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求请把正确答案的代号填在下表中）

1. 下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（）

A、4，6，10 B、6，6，15 C、7，9，18 D、6，8，13

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2. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- 2 a b^{2})}^{3} = - 8 a^{3} b^{6}$ B、 $2 a^{2} \cdot 3 a^{3} = 6 a^{6}$ C、 $a^{2} \cdot a^{2} = 2 a^{2}$ D、 $a^{6} \div a = 6$

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3. 下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 课后小明拿出数学笔记本复习，发现一道题被墨水污染了： $- 3 x \cdot (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{3} + ●$ ，则“ $●$ ”处应填写的式子是（）

A、 $3 x^{2} + 1$ B、 $3 x^{2} - 1$ C、 $3 x^{2} - 3 x$ D、 $3 x^{2} + 3 x$

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5. 下列图形都是正方体的展开图，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 当 $x^{2} + x = 5$ 时， $(1 - x) (2 + x)$ 的值是（）

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 $7$ D、 $- 7$

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7. 在物理实验中，一位同学研究一个小木块在斜坡上滑下时的运动状态．如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 15 °$ ，小木块 $△ D E F$ （斜坡 $A B$ 上，且 $D E ∥ B C$ ， $E F ∥ A C$ ，则 $∠ D F E$ 的度数是（）

A、 $15 °$ B、 $65 °$ C、 $75 °$ D、 $85 °$

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8. 若 $(x + 2) (x - 3) = x^{2} + m x + n$ ，则点 $P (m ， n)$ 关于x轴的对称点 $P^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(0 ， - 6)$ B、 $(- 1 ， 6)$ C、 $(- 1 ， - 6)$ D、 $(1 ， 6)$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为D ．则全等三角形有（）

A、2组 B、3组 C、4组 D、5组

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10. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积来加以验证．现有下图中甲、乙两种方案，能借助图形面积验证 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ 的正确性方案的是（）
甲乙

A、只有甲能 B、只有乙能 C、甲、乙都不能 D、甲、乙都能

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二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11. $(π - 2023)^{0} =$ ．

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12. 如图，把一长一短两根细木棍的一端用绳子绑在一起，使长木棍的另一端与射线 $B C$ 的端点B重合，固定住长木棍，把短木棍摆动，端点落在射线 $B C$ 上的C、D两点位置时，形成的 $△ O B D$ 和 $△ O B C$ 中有 $O B = O B$ ， $O C = O D$ ， $∠ O B D = ∠ D B O$ ，则 $△ O B D$ 与 $△ O C B$ （填“全等”或“不全等”）．

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13. 如图，一艘渔船向东航行，8点到达O处，灯塔A在其北偏东60°方向，距离16海里，10点到达B处，灯塔A在其正北方向，此时渔船与灯塔A相距海里．

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14. 如图，在一个长为 $(3 m + n)$ ，宽为 $(m + 3 n)$ 的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为．（需化简）

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15. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，D ， E ， F分别是 $B C$ ， $A B$ ， $A C$ 边上的点，且 $B E = C D$ ， $B D = C F$ ，则 $∠ E D F$ 的度数为．

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三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.

(1)、计算： $- 2 x^{2} y^{2} \cdot 3 x y + {(x y)}^{3}$ ．

(2)、因式分解： $a x^{3} - 16 a x$ ．

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17. 如图， $△ A B C$ 是锐角三角形．

(1)、作 $△ A B C$ 的中线 $A D$ （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

(2)、在所作的图中，若 $A C - A B = 4$ ，则 $△ A C D$ 与 $△ A B D$ 的周长差是．

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18. 下面是小冉同学对多项式 ${(x - 4 y)}^{2} + 4 (x + 2 y) (x - 2 y)$ 进行因式分解的过程：
解：原式 $=__________+ 4 (x^{2} - 4 y^{2})$ 第一步
$=__________+ 4 x^{2} - 16 y^{2}$ 第二步
…

(1)、第一步横线上的多项式是，用到的乘法公式是．（写出用字母 $a$ ， $b$ 表示的乘法公式）

(2)、补全解题过程．

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19. 【发现】有三个连续的正奇数，其中最小的奇数与最大的奇数的乘积一定等于中间的奇数的平方减4．

(1)、【验证】如 $5 \times 9 = 45$ ， 45可以表示一个正奇数的平方减4，则这个奇数是．

(2)、【探究】设“发现”的最小的奇数为 $2 n + 1$ ，请论证“发现”中的结论正确．

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20. 若两个一元一次方程的解互为相反数，我们把这样的两个方程称为“友好方程”．

(1)、若关于x的方程 $6 x - k = k x + 1$ 与方程 $2 (x - 1) = 3 x - 4$ 是“友好方程”，求k的值．

(2)、若两个“友好方程”解的差为 $- 2$ ，其中一个解为n ，求n的值．

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21. 阅读与思考

阅读下列材料，完成后面任务：

×年×月×日，星期日

曹冲称象得到的启示

今天，我在一本杂志上看到这样一段话：

孙权曾致巨象、太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》

按照曾冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上拾入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标志位置，如果再拾入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置，已知搬运工体重为130 kg，求大象的体重，下面是小康的部分解答过程：

解：设每块条形石的质量为xkg，根据题意得 $20 x + 3 \times 130 = 20 x + x + 130$ ， …

任务：

(1)、填空：解决这个问题用到的等量关系是20块等量的条形石的质量+=+1个搬运工的体重．

(2)、将小康的解答过程补充完整．

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22. 综合与实践
如图1，有A型，B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张．

(1)、用1张A型卡片，2张B型卡片，3张C型卡片拼成一个长方形，如图2，用两种方法计算这个长方形面积，可以得到一个等式，请你写出该等式：．

(2)、选取1张A型卡片，8张C型卡片，张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a ， b的式子表示为．

(3)、如图3，正方形边长分别为m ， n ，已知 $m + 2 n = 10$ ， $m n = 12$ ，求阴影部分的面积．

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23. 综合与探究
如图，在 $△ A B C$ 中，以 $A B$ ， $B C$ 为边分别作等边 $△ A B D$ 和等边 $△ B C E$ ，连接 $A E$ 和 $D C$ ．

(1)、如图1，写出 $A E$ 和 $D C$ 之间的数量关系，并证明．

(2)、如图2，若 $D C$ 与 $A E$ 相交于点M ，求证： $∠ C M E = 60 °$ ．

(3)、如图3，取 $A E$ ， $D C$ 的中点Q ， P ，连接 $B P$ ， $P Q$ ， $B Q$ ，得到 $△ B P Q$ ，试猜想 $△ B P Q$ 的形状，并证明你的猜想．

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