2014年高考理数真题试卷（广东卷）

试卷更新日期：2016-09-28 类型：高考真卷

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一、选择题

1. 已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）

A、{0，1} B、{﹣1，0，1，2} C、{﹣1，0，2} D、{﹣1，0，1}

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2. 已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）

A、3﹣4i B、3+4i C、﹣3﹣4i D、﹣3+4i

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3. 若变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 若实数k满足0＜k＜9，则曲线 $\frac{x^{2}}{25}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{9 - k}$ =1与曲线 $\frac{x^{2}}{25 - k}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{9}$ =1的（）

A、焦距相等 B、实半轴长相等 C、虚半轴长相等 D、离心率相等

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5. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，0，﹣1），则下列向量中与 $\vec{a}$ 成60°夹角的是（）

A、（﹣1，1，0） B、（1，﹣1，0） C、（0，﹣1，1） D、（﹣1，0，1）

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6. 已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）

A、200，20 B、100，20 C、200，10 D、100，10

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7. 若空间中四条两两不同的直线l₁ ， l₂ ， l₃ ， l₄ ，满足l₁⊥l₂ ， l₂⊥l₃ ， l₃⊥l₄ ，则下列结论一定正确的是（）

A、l₁⊥l₄ B、l₁∥l₄ C、l₁与l₄既不垂直也不平行 D、l₁与l₄的位置关系不确定

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8. 设集合A={（x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄ ， x₅）|x_i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x₁|+|x₂|+|x₃|+|x₄|+|x₅|≤3”的元素个数为（）

A、60 B、90 C、120 D、130

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二、填空题：（一）必做题（9~13题）

9. 不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为．

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10. 曲线y=e^﹣^5x+2在点（0，3）处的切线方程为．

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11. 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．

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12. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则 $\frac{a}{b}$ = ．

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13. 若等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁₀a₁₁+a₉a₁₂=2e⁵ ，则lna₁+lna₂+…lna₂₀= ．

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14. （极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C₁和C₂的方程分别为ρsin²θ=cosθ和ρsinθ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C₁和C₂交点的直角坐标为．

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15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则 $\frac{△ C D F 的面积}{△ A E F 的面积}$ = ．

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三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. 已知函数f（x）=Asin（x+ $\frac{π}{4}$ ），x∈R，且f（ $\frac{5 π}{12}$ ）= $\frac{3}{2}$ ．

(1)、求A的值；

(2)、若f（θ）+f（﹣θ）= $\frac{3}{2}$ ，θ∈（0， $\frac{π}{2}$ ），求f（ $\frac{3 π}{4}$ ﹣θ）．

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17. 随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25，30]
3
0.12
（30，35]
5
0.20
（35，40]
8
0.32
（40，45]
n₁
f₁
（45，50]
n₂
f₂

(1)、确定样本频率分布表中n₁ ， n₂ ， f₁和f₂的值；

(2)、根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

(3)、根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．

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18. 如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．

(1)、证明：CF⊥平面ADF；

(2)、求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．

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19. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，满足S_n=2na_n+1﹣3n²﹣4n，n∈N^* ，且S₃=15．

(1)、求a₁ ， a₂ ， a₃的值；

(2)、求数列{a_n}的通项公式．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的右焦点为（ $\sqrt{5}$ ，0），离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若动点P（x₀ ， y₀）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．

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21. 设函数f（x）= $\frac{1}{\sqrt{{(x^{2} + 2 x + k)}^{2} + 2 (x^{2} + 2 x + k) - 3}}$ ，其中k＜﹣2．

(1)、求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；

(2)、讨论函数f（x）在D上的单调性；

(3)、若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．

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分组	频数	频率
[25，30]	3	0.12
（30，35]	5	0.20
（35，40]	8	0.32
（40，45]	n₁	f₁
（45，50]	n₂	f₂