江西省南昌市重点学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题-在线组卷题库

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ B、 $x^{2} + 2 x = x^{2} - 1$ C、 $x^{2} - \frac{1}{x} - 2 = 0$ D、 $3 x^{2} + 1 = 2 x + 2$

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2. 如图，△ $A B C$ 内接于⊙O， $C D$ 是⊙O的直径，∠ $B C D$ $= 54 °$ .则∠ $A$ 的度数是（）

A、36° B、33° C、30° D、27°

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3. 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{12}$

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4. 如图是三个反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ ， $y = \frac{k_{2}}{x}$ ， $y = \frac{k_{3}}{x}$ 的图象，由此观察得到 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $k_{1} < k_{3} < k_{2}$ B、 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ C、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$ D、 $k_{2} < k_{3} < k_{1}$

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5. 如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE=EF，若AD= $\sqrt{3}$ ，则 $\overset{⌢}{C F}$ 的长为（）

A、 $\frac{3 π}{8}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6} π}{4}$ D、π

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6. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与轴交于点 $(3 ， 0)$ ，其对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ ，结合图象分析下列结论：
① $a b c > 0$ ；②当 $x < 0$ 时，y随x的增大而增大；③一元二次方程 $y = a x^{2} + b x + c$ 的两根分别为 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 2$ ；④若 $m$ ， $n (m < n)$ 为方程 $a (x + 3) (x - 2) + 3 = 0$ 的两个根，则 $m < - 3$ 且 $n > 2$ ；⑤ $3 a + c > 0$ ，其中正确的结论有（）个

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 5$ 的顶点坐标是.

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8. 如图，正比例函数 $y = x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC，若 $△ A B C$ 的面积为3，则k的值为．

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9. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是．

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10. 若关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 6 x + 9 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $△ A B C$ 的内切圆半径 $r =$ ．

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12. 如图，已知 $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ，将线段AC绕点A逆时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得到 $A C^{'}$ ，连接 $C C^{'}$ ， $B C^{'}$ ．当 $△ C B C^{'}$ 是等腰三角形（不含等腰直角三角形）时， $α =$ ．

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13.

(1)、解下列方程： $x^{2} = x + 2$ ．

(2)、如图， $\overset{⌢}{A B}$ 的半径 $O A = 2$ ， $O C ⊥ A B$ 于点C， $∠ A O C = 60 °$ ，求 $\overset{⌢}{A B}$ 的长．

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14. 按要求画图：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹．

(1)、如图1，画出⊙O的一个内接矩形；

(2)、如图2，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD∥AB，画出⊙O的一个内接正方形．

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15. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (3 k + 1) x + 2 k^{2} + 2 k = 0$ .

(1)、求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；

(2)、若等腰 $△ A B C$ 的一边长 $a = 6$ ，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求k的值.

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16. 为了迎接明年南昌五中七十周年校庆，政教处组织开展“校史知识竞赛”，某班准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表班级参加比赛．

(1)、如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是．

(2)、用列表法或树状图法表示出所选代表的所有可能结果，并求出所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．

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17. 某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：

(1)、求y与 $x (10 ≤ x ≤ 24)$ 的函数表达式；

(2)、大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？

(3)、若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？

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18. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
投稿篇数（篇）
1
2
3
4
5
七年级频数（人）
7
10
15
12
6
八年级频数（人）
2
10
13
21
4

(1)、【数据的描述与分析】
求扇形统计图中圆心角 $α$ 的度数，并补全频数直方图．

(2)、根据频数分布表分别计算有关统计量：
统计量
中位数
众数
平均数
方差
七年级
3
3
$\bar{x}$
$1.48$
八年级
$m$
$n$
$3.3$
$1.01$
直接写出表格中 $m =$ ▲ ， $n =$ ▲ ，并求出 $\bar{x}$ ．

(3)、【数据的应用与评价】
从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．

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19. 有这样一个问题：探究函数 $y = x^{2} - 4 | x | + 3$ 的图象与性质．
小丽根据学习函数的经验，对函数 $y = x^{2} - 4 | x | + 3$ 的图象与性质进行了探究．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：

(1)、函数 $y = x^{2} - 4 | x | + 3$ 的自变量x的取值范围是．

(2)、如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数 $y = x^{2} - 4 | x | + 3$ 的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；

(3)、对于上面的函数 $y = x^{2} - 4 | x | + 3$ ，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称；函数既有最大值，也有最小值；
③当 $x > 2$ 时，y随x的增大而增大，当 $x < - 2$ 时，y随x的增大而减小；
④函数图象与x轴有2个公共点．
所有正确结论的序号是．

(4)、结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程 $x^{2} - 4 | x | + 3 = k$ 有4个不相等的实数根，则k的取值范围是．

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20.

(1)、知识重现：如图1，我们已经分三种情况探究了一条弧所对的圆周角 $∠ B A C$ 和它所对的圆心角 $∠ B O C$ 的数量关系．
          图1
①直接写出 $∠ B A C$ 和 $∠ B O C$ 的数量关系    ▲         ．
②任选一种情况进行证明．

(2)、迁移应用：如图2，已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，直线DE是 $⊙ O$ 切线，切点为A，求证： $∠ C A E = ∠ A B C$ ．
       图2

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21. 如图，线段AB经过 $⊙ O$ 的圆心O，交 $⊙ O$ 于A、C两点， $B C = 1$ ， AD为 $⊙ O$ 的弦，连接BD， $∠ B A D = ∠ A B D = 30 °$ ，连接DO并延长交 $⊙ O$ 于点E，连接BE交 $⊙ O$ 于点M．

(1)、求证：直线BD是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求封闭图形BCD的面积；

(3)、求线段BM的长．

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22. 2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．

(1)、求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．

(2)、从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．设该款吉祥物每件降价m元（m为正整数），当m为多少时，月销售利润能达到8400元？

(3)、在（2）的条件下，设该款吉祥物每月销售利润为w元，当m为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少元？

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23. 如图1， $△ A B C$ 中， $C A = C B$ ， $∠ A C B = α$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 内一点，将 $△ C A D$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转角 $α$ 得到 $△ C B E$ ，点 $A$ ， $D$ 的对应点分别为点 $B$ ， $E$ ，且 $A$ ， $D$ ， $E$ 三点在同一直线上．

(1)、填空： $∠ C D E =$ ；（用含α的代数式表示）

(2)、如图2，若 $α = 60 °$ ，请补全图形，再过点 $C$ 作 $C F ⊥ A E$ 于点 $F$ ，然后探究线段 $C F$ ， $A E$ ， $B E$ 之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)、如图3，若 $α = 90 °$ ， $A C = 5 \sqrt{2}$ ，求四边形 $A B E C$ 面积的最大值．

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江西省南昌市重点学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

四、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分）

五、解答题（本题共两小题，每小题9分，共18分）

六、解答题（本题共1题，共12分）

投稿篇数（篇）	1	2	3	4	5
七年级频数（人）	7	10	15	12	6
八年级频数（人）	2	10	13	21	4

统计量	中位数	众数	平均数	方差
七年级	3	3	$\bar{x}$	$1.48$
八年级	$m$	$n$	$3.3$	$1.01$