2024年高考物理二轮专题复习：万有引力（优生加练）

试卷更新日期：2024-02-26 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图所示，有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在赤道上随地球一起转动，b是近地卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，卫星的运动均视为匀速圆周运动。下列关于卫星的说法中正确的是（）

A、卫星a与b的向心加速度相等，都等于重力加速度g B、卫星d的线速度比卫星c的线速度大 C、卫星a的角速度比卫星d的角速度大 D、卫星b的周期比卫星c的周期大

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2. 截至目前，神舟十五号航天员乘组已完成四次出舱活动，刷新了中国航天员出舱活动记录，如图所示为航天员出舱完成任务的图片。已知空间站在距地面高度为400km轨道上绕地球做匀速圆周运动，地球半径为6400km，取地面重力加速度为10m/s² ，不考虑地球自转的影响。下列说法正确的是（）

A、航天员做匀速圆周运动，所受合力不变 B、空间站做匀速圆周运动的线速度大于7.9km/s C、同一物体在空间站与在地面上受到的万有引力之比为 $\frac{256}{289}$ D、空间站做匀速圆周运动的向心加速度大小约为9.4m/s²

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3. 图甲为电影 $《$ 流浪地球 $2 》$ 中的太空电梯，又称为“斯科拉门德快速电梯”，是电影中一种可以在地球表面和太空空间站来回运输人员和物资的巨型结构。图乙为其模型简易图，固定在空间站和地球间的刚性“绳索”与空间站一起和地球保持相对静止，电梯可沿“绳索”升降，若“太空电梯”停在距地面高度为 $h$ 的绳索上的某处， $h$ 大于零小于同步卫星轨道距地面的高度，已知，地球的自转不能忽略且地球视为均质球体，地球的第一宇宙速度为 $7.9 k m / s$ 。对“太空电梯”里的航天员，则下列说法正确的是（）

A、航天员处于平衡状态 B、航天员绕地心做圆周运动的线速度大于 $7.9 k m / s$ C、航天员绕地心做圆周运动的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度 D、若此时“绳索”断了，“太空电梯”会留在距地面 $h$ 高处，绕地球做圆周运动，成为地球的一颗“卫星”

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4. 卫星M在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，一段时间后在A点变速进入轨道Ⅱ，运行一段时间后，在B点变速进入轨道半径为轨道Ⅰ轨道半径5倍的轨道Ⅲ，最后在轨道Ⅲ做匀速圆周运动，在轨道Ⅲ上的速率为v ，则卫星在轨道Ⅱ上的B点速率可能是（）

A、 $\frac{1}{5} v$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{6} v$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3} v$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2} v$

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5. “双星系统”是由相距较近的两颗恒星组成，每个恒星的半径远小于两个恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动。如图所示为某一双星系统，A星球的质量为 $m_{1}$ ， B星球的质量为 $m_{2}$ ，它们中心之间的距离为L，引力常量为G。则下列说法正确的是（）

A、A，B两星球做圆周运动的半径之比为 $m_{1} ： m_{2}$ B、A，B两星球做圆周运动的角速度之比为 $m_{1} ： m_{2}$ C、A星球的轨道半径 $r_{1} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} L$ D、双星运行的周期 $T = 2 π L \sqrt{\frac{L}{G (m_{1} + m_{2})}}$

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6. 假设地球可视为质量分布均匀的球体，由于地球的自转，地球表面上不同纬度的重力加速度有所差别，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g₀ ，在赤道的大小为g₁ ，则在纬度为45°的地球表面上重力加速度为（）

A、 $\frac{1}{2} \sqrt{g_{0}^{2} + 2 g_{1}^{2}}$ B、 $\sqrt{\frac{g_{0}^{2} + g_{1}^{2}}{2}}$ C、 $\sqrt{g_{0}^{2} + 2 g_{1}^{2} - \sqrt{2} g_{1} g_{0}}$ D、 $\sqrt{\frac{g_{0}^{2} + 2 g_{1}^{2} - \sqrt{2} g_{1} g_{0}}{2}}$

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7. 水星轨道在地球轨道内侧，某些特殊时刻，地球、水星、太阳会在一条直线上，这时从地球上可以看到水星就像一个小黑点一样在太阳表面缓慢移动，天文学称之为“水星凌日”。在地球上每经过N年就会看到“水星凌日”现象。通过位于贵州的中国天眼FAST（目前世界上口径最大的单天线射电望远镜）观测水星与太阳的视角（观察者分别与水星、太阳的连线所夹的角）为θ ，则sinθ的最大值为（）

A、 ${(\frac{N}{N + 1})}^{\frac{2}{3}}$ B、 ${(\frac{N}{N + 1})}^{\frac{3}{2}}$ C、 ${(\frac{N}{N - 1})}^{\frac{2}{3}}$ D、 ${(\frac{N - 1}{N})}^{\frac{3}{2}}$

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二、多项选择题

8. 在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（）

A、M与N的密度相等 B、Q的质量是P的3倍 C、Q下落过程中的最大动能是P的4倍 D、Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍

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9. 18世纪，数学家莫佩尔蒂和哲学家伏尔泰，曾设想“穿透”地球：假设能够沿着地球两极连线开凿一条沿着地轴的隧道贯穿地球，一个人可以从北极入口由静止自由落入隧道中，忽略一切阻力，此人可以从南极出口飞出，则以下说法正确的是（已知地球表面处重力加速度g取10 m/s²；地球半径R＝6.4×10⁶ m；地球表面及内部某一点的引力势能E_p＝－ $\frac{G M m}{r}$ ， r为物体距地心的距离）（　　）

A、人与地球构成的系统，虽然重力发生变化，但是机械能守恒 B、当人下落经过距地心0.5R瞬间，人的瞬时速度大小为4×10³ m/s C、人在下落过程中，受到的万有引力与到地心的距离成正比 D、人从北极开始下落，直到经过地心的过程中，万有引力对人做功W＝1.6×10⁹ J

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10. 如图所示，在某行星表面上有一倾斜的圆盘，面与水平面的夹角为 $30 °$ ，盘面上离转轴距离L处有小物体与圆盘保持相对静止，绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，角速度为 $ω$ 时，小物块刚要滑动，物体与盘面间的动摩擦因数为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ （设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），星球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（）

A、这个行星的质量 $\frac{2 ω^{2} R^{2} L}{G}$ B、这个行星的第一宇宙速度 $v = 2 ω \sqrt{L R}$ C、这个行星的密度是 $ρ = \frac{3 ω^{2} L}{π G R}$ D、离行星表面距离为R的地方的重力加速度为 $\frac{1}{2} ω^{2} L$

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11. “神舟十三号”载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，两者对接后一起绕地球运行的轨道可视为圆轨道，运行周期为T，已知地球半径为R，对接体距地面的高度为kR，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是

A、对接后，飞船的线速度大小为 $\frac{2 π (k + 1) R}{T}$ B、对接后，飞船的加速度大小为 $\frac{g}{(1 + k)^{2}}$ C、地球的密度为 $\frac{3 π (1 + k)^{2}}{G T^{2}}$ D、对接前，飞船通过自身减速使轨道半径变大从而靠近“天宫二号”实现对接

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12. 2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST)的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据.之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团(M13)中发现一个脉冲双星系统.如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T₁ ，它们的轨道半径分别为R_A、R_B ， R_A＜R_B ， C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T₂ ，忽略A与C之间的引力，万引力常量为G，则以下说法正确的是（）

A、若知道C的轨道半径，则可求出C的质量 B、恒星A，B的质量和为 $\frac{4 π^{2} {(R_{A} + R_{B})}^{3}}{G T_{1}^{2}}$ C、若A也有一颗运动周期为T₂的卫星，则其轨道半径大于C的轨道半径 D、设A，B，C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则 $t = \frac{T_{1} T_{2}}{2 (T_{1} + T_{2})}$

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13. 下列说法正确的是_____。

A、医院里用于检测的彩超的原理是：向病人体内发射超声波，经血液反射后被接收，测出反射波的频率变化，就可知血液的流速，这一技术应用了多普勒效应 B、单摆做简谐运动的回复力大小总与偏离平衡位置的位移大小成正比 C、在水中的潜水员斜向上看岸边的物体时，看到的物体比物体所处的实际位置低 D、水中的气泡，看起来很明亮，是因为光线从气泡中射向水中时，一部分光在界面上发生了全反射的缘故 E、地面上静止的人观察一条沿杆自身长度高速运动的杆，其长度总比杆静止时的长度小

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三、非选择题

14. 北京时间2021年10月16日6时56分，神舟十三号载人飞船成功对接于天和核心舱径向端口，空间站[由天和核心舱、神舟十三号载人飞船、天舟二号和天舟三号货运飞船一起组成四舱（船）组合体]绕地球的运动可视为匀速圆周运动，不考虑空气阻力以及其他天体的影响，地球可视作质量为M的均匀球体；设空间站（可看做质点）的总质量为 $m (m < < M)$ 、空间站绕行的轨道半径为r；万有引力常量为G。

(1)、求空间站绕地球做匀速圆周运动的线速度的大小v；

(2)、若空间站绕地球运动的周期为T，请证明 $\frac{r^{3}}{T^{2}}$ 为一与空间站质量无关的常量；

(3)、小明通过类比发现，两点电荷间的库仑力与两质点间的万有引力都满足与距离的平方成反比，因此他猜想：“设静电力常量为k，若真空中一个质量为m、电量为 $- q (q > 0)$ 的试探电荷A，绕一电荷量为 $+ Q (Q > 0)$ 的固定点电荷B做半径为 $r_{0}$ 、周期为 $T_{0}$ 的匀速圆周运动时，则 $\frac{r_{0}^{3}}{T_{0}^{2}}$ 也是一个与试探电荷A的质量和电量均无关的常量。”请你通过分析、计算来判断小明的猜想是否正确。

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15. 一宇航员在半径为 $R$ 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：如图所示，在不可伸长的长度为 $l$ 的轻绳一端系一质量为 $m$ 的小球，另一端固定在 $O$ 点，小球绕 $O$ 点在竖直面内做圆周运动，通过最高点时速度为 $v_{0}$ ，此时绳的弹力大小与小球重力相等，已知引力常量为 $G$ 。求：

(1)、该星球表面的重力加速度；

(2)、该星球的第一宇宙速度；

(3)、该星球的平均密度。

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16. 如图所示，横截面积为 $A$ 、质量为 $m$ 的柱状飞行器沿半径为 $R$ 的圆形轨道在高空绕地球做无动力运行。将地球看作质量为 $M$ 的均匀球体。万有引力常量为 $G$ 。

(1)、求飞行器在轨道半径为 $R$ 的高空绕地球做圆周运动的周期；

(2)、在飞行器运行轨道附近范围内有密度为 $ρ ($ 恒量 $)$ 的稀薄空气。稀薄空气可看成是由彼此没有相互作用的均匀小颗粒组成，所有小颗粒原来都静止。假设每个小颗粒与飞行器碰撞后具有与飞行器相同的速度，且碰撞时间很短。频繁碰撞会对飞行器产生持续阻力，飞行器的轨道高度会逐渐降低。观察发现飞行器绕地球运行很多圈之后，其轨道高度下降了 $Δ H$ 。由于 $Δ H ≪ R$ ，可将飞行器绕地球运动的每一圈运动均视为匀速圆周运动。已知当飞行器到地球球心距离为 $r$ 时，飞行器与地球组成的系统具有的引力势能 $E_{p} = - \frac{G M m}{r}$ 。请根据上述条件推导：
$①$ 飞行器在半径为 $R$ 轨道上运行时，所受空气阻力大小 $F$ 的表达式；
$②$ 飞行器由半径为 $R$ 的轨道下降 $Δ H$ 的过程中，飞行器绕地球运动圈数 $n$ 的表达式。

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17. “中国空间站”在距地面高400km左右的轨道上做匀速圆周运动，在此高度上有非常稀薄的大气，因气体阻力的影响，轨道高度1个月大概下降2km，空间站安装有发动机，可对轨道进行周期性修正。假设中国空间站正常运行轨道高度为h，经过一段时间t，轨道高度下降了 $Δ h (Δ h ≪ h)$ 。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R，空间站质量为m，空间站垂直速度方向的有效横截面积为S。认为空间站附近空气分子是静止的，与空间站相遇后和空间站共速。规定距地球无限远处为地球引力零势能点，地球附近物体的引力势能可表示为 $E_{p} = - \frac{G M m}{r}$ ，其中M为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心距离。求：

(1)、“中国空间站”正常在轨做圆周运动的周期和线速度；

(2)、以无限远为零势能点，“中国空间站”轨道高度下降 $Δ h$ 时的机械能损失；

(3)、用 $Δ E$ 表示（2）问结果，忽略下降过程中阻力大小变化，请估算“中国空间站”附近的空气密度。

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18. 2021年10月3日神舟十三号飞船发射成功，神舟十三号与中国空间站的天和核心舱对接后，与空间站一起绕地球做匀速圆周运动，三位宇航员将在空间站驻留六个月从事各项科学研究工作。已知我国空间站距离地球表面的高度为 $h$ ，空间站（包括神舟十三号飞船与核心舱对接后）总质量为 $m$ ，地球质量为 $M$ ，地球半径为 $R$ ，引力常数为 $G$ 。

(1)、求空间站绕地球做匀速圆周运动的周期 $T$ ；

(2)、神舟十三号飞船采用长征二号火箭发射，在发射过程中靠喷射燃料获得反冲速度，发射初期火箭的速度远小于燃料的喷射速度，可忽略；已知燃料的喷射速度为 $u$ ，在极短的时间内火箭喷射的燃料质量为 $Δ m$ ，喷气后神舟飞船与火箭（包括燃料）的总质量为 $m_{0}$ ，求这过程中飞船和火箭增加的速度大小 $Δ v$ ；

(3)、在空间站中，宇航员长期处于失重状态。为缓解这种状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示。圆环绕中心匀速旋转，宇航员站在旋转舱内的侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。已知地球表面的重力加速度为 $g$ ，圆环的半径为 $r$ ，宇航员可视为质点，为达到目的，旋转舱绕其轴线匀速转动的角速度应为多大？

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19. 2021年5月15日7时18分，我国火星探测器“天问一号”的着陆巡视器（其中巡视器就是“祝融号”火星车）成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区。着陆巡视器从进入火星大气层到成功着陆经历了气动减速段、伞系减速段、动力减速段、悬停避障与缓速下降段，其过程大致如图所示。已知火星质量为 $6.42 \times 10^{23} kg$ （约为地球质量的0.11倍）、半径为3395km（约为地球半径的0.53倍），“天问一号”的着陆巡视器质量为1.3t，地球表面重力加速度为 $9.8 {m/s}^{2}$ 。试根据图示数据计算说明下列问题：

(1)、着陆巡视器在动力减速段做的是否为竖直方向的匀减速直线运动？

(2)、设着陆巡视器在伞系减速段做的是竖直方向的匀减速直线运动，试求火星大气对着陆巡视器的平均阻力为多大？（结果保留1位有效数字）

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20. 宇宙空间有两颗相距较远、中心距离为d的星球A和星球B。在星球A上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，如图（a）所示，P由静止向下运动，其加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图（b）中实线所示。在星球B上用完全相同的弹簧和物体P完成同样的过程，其a-x关系如图（b）中虚线所示。已知两星球密度相等。星球A的质量为m₀ ，引力常量为G。假设两星球均为质量均匀分布的球体。

(1)、求星球A和星球B的表面重力加速度的比值；

(2)、若将星球A看成是以星球B为中心天体的一颗卫星，求星球A的运行周期T₁；

(3)、若将星球A和星球B看成是远离其他星球的双星模型，这样算得的两星球做匀速圆周运动的周期为T₂。求此情形中的周期T₂与上述第(2)问中的周期T₁的比值。

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