2024年浙教版数学八年级下学期第一章二次根式单元测试（培优版）

试卷更新日期：2024-02-26 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 若 $\sqrt{\frac{x + 1}{2 - x}} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{2 - x}}$ 成立，则x的值可以是（）

A、-2 B、0 C、2 D、3

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2. 有下列式子： $\sqrt{\frac{1}{3}}$ ， $\sqrt{- 3}$ ， $\sqrt{x^{2} + 1}$ ， $^{3} \sqrt{8}$ ， $\sqrt{(- a)^{2}}$ ， $\sqrt{1 - x}$ (x>1)．其中一定是二次根式的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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3. 式子 $\sqrt{\frac{3 - x}{x - 1}} = \frac{\sqrt{3 - x}}{\sqrt{x - 1}}$ 成立的条件是（）

A、 $x$ ≥3 B、 $x$ ≤1 C、1≤ $x$ ≤3 D、1＜ $x$ ≤3

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4. 若二次根式 $\sqrt{2 - m}$ 有意义，且关于x的分式方程 $\frac{m}{1 - x}$ +2＝ $\frac{3}{x - 1}$ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（）

A、﹣7 B、﹣6 C、﹣5 D、﹣4

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5. 下列各式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{a^{2}}$ D、 $\sqrt{\frac{5}{3}}$

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6. 化简二次根式 $\sqrt{- 8 a^{3^{}}}$ 的结果为（）

A、 $- 2 a \sqrt{- 2 a}$ B、 $2 a \sqrt{2 a}$ C、 $2 a \sqrt{- 2 a}$ D、 $- 2 a \sqrt{2 a}$

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7. 下列判断中，正确的是（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} < 0.5$ B、若ab=0，则a=b=0 C、 $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ D、 $\sqrt{a} (a \neq 0)$ 可以表示面积为 a的正方形的边长

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8. 下列二次根式中，可以与 $\sqrt{2}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{20}$ C、 $\sqrt{\frac{2}{9}}$ D、 $\sqrt{12}$

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9. 估计 $(2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{2}) \times \sqrt{\frac{1}{3}}$ 的值在（）

A、6和6.5之间 B、6.5和7之间 C、7 和7.5之间 D、7.5和8之间

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10. 如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为 4，3，2，则图中阴影部分的面积为（）

A、2 B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{3} + \sqrt{6} - 2 \sqrt{2} - 3$ D、 $2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{2} - 5$

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二、填空题

11.
若成立，则x满足

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12. 若x ， y为实数，且 $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x} + 2023$ ，则 $x y =$ ．

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13. 若整数x满足|x|≤3，则使 $\sqrt{7 - x}$ 为整数的x的值是．

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14. 计算 $\sqrt{{(\sqrt{5} - 3)}^{2}} =$ .实数 $2 - \sqrt{3}$ 的倒数是.

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15. 计算

(1)、 $\sqrt{{(2 \frac{1}{2})}^{2}} =$ .

(2)、 ${(- \sqrt{31})}^{2} =$ .

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16. 计算（ $\sqrt{2}$ +1）²⁰¹⁵（ $\sqrt{2}$ ﹣1）²⁰¹⁴=

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三、解答题

17. 求值

(1)、先化简，再求值： $\frac{x + 2}{2 x^{2} - 4 x} \div (x - 2 + \frac{8 x}{x - 2})$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ；

(2)、已知：a+ $\frac{1}{a}$ ＝1+ $\sqrt{10}$ ，求 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ 的值；

(3)、已知实数m、n满足 $m = \frac{\sqrt{n^{2} - 4} + \sqrt{4 - n^{2}} + 4}{n - 2}$ ，求 $| m - 2 n | + \sqrt{8 m n}$ 的值．

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18. 先化简，再求值：已知y= $\sqrt{1 - 3 x} + \sqrt{3 x - 1} + \frac{1}{2}$ ，求 ${(\sqrt{2 x} - \sqrt{y})}^{2} - \sqrt{{(2 x + y)}^{2}}$ 的值．

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19. 先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，我们只要找到两个数a，b，使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，即 ${(\sqrt{a})}^{2} + {(\sqrt{b})}^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有： $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})}^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b ⩾ 0)$ .
例如化简： $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

解：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ，

这里 $m = 7$ ， $n = 12$ ，

由于 $4 + 3 = 7$ ， $4 \times 3 = 12$ ，

所以 ${(\sqrt{4})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 7, \sqrt{4} \times \sqrt{3} = \sqrt{12}$ ，

所以 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{{(\sqrt{4} + \sqrt{3})}^{2}} = 2 + \sqrt{3}$ .

根据上述方法化简： $\sqrt{13 - 2 \sqrt{42}}$ .

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20. 计算：

(1)、 $- 1^{2019} + \sqrt[3]{27} - | 1 - \sqrt{2} | + \sqrt{8}$

(2)、已知 $x = \sqrt{2} + 1$ ， $y = \sqrt{2} - 1$ ，求 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} + 2$ 的值．

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21. 先阅读下列材料，再回答相应的问题
若 $\sqrt{1 - x}$ 与 $\sqrt{x - 1}$ 同时成立，则x的值应是多少？

有下面的解题过程：

由于 $\sqrt{1 - x}$ 与 $\sqrt{x - 1}$ 都是算术平方根，故两者的被开方数 $1 - x$ 与 $x - 1$ 均为非负数.而 $1 - x$ 与 $x - 1$ 互为相反数，两个非负数互为相反数，只有一种情形，那便是 $1 - x = 0$ ， $x - 1 = 0$ 所以 $x = 1$ .

问题：已知 $y = \sqrt{1 - 2 x} + \sqrt{2 x - 1} + 2$ ，求 $x^{y}$ 的值.

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22. 已知m为正整数，若 $\sqrt{189 m}$ 是整数，则根据 $\sqrt{189 m} = \sqrt{3 \times 3 \times 3 \times 7 m} = 3 \sqrt{3 \times 7 m} ，$ 可知m有最小值3×7=21.
设n为正整数，若 $\sqrt{\frac{300}{n}}$ 是大于1的整数，求n的最小值和最大值

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23. 先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，只要我们找到两个数a、b使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，这样 $(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b)$ 例如：化简 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$
解：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ，这里 $m = 7$ ， $n = 12$ ；
由于 $4 + 3 = 7$ ， $4 \times 3 = 12$ ，即 $(\sqrt{4})^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 7$ ， $\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12}$ ，
$∴ \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^{2}} = 2 + \sqrt{3}$
由上述例题的方法化简：

(1)、 $\sqrt{13 - 2 \sqrt{42}}$ ；

(2)、 $\sqrt{7 - \sqrt{40}}$ ；

(3)、 $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .

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24. 先阅读下面材料，然后再根据要求解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足 $a + \sqrt{2} b = 3 - 2 \sqrt{2}$ ，求 $b^{a}$ 的值？

解：由题意得： $(a - 3) + (b + 2) \sqrt{2} = 0$ ，

因为a、b都是有理数，

所以a-3、b+2也是有理数，

由于 $\sqrt{2}$ 是无理数，

所以a-3＝0、b+2＝0，

所以a＝3、b＝-2，

所以 $b^{a} = {(- 2)}^{3} = - 8$ ，

问题：设x、y都是有理数，且满足 $x^{2} - 2 y + \sqrt{5} y = 8 + 4 \sqrt{5}$ ，求x+y的值，

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2024年浙教版数学八年级下学期第一章二次根式 单元测试（培优版）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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