【培优卷】2024年北师大版数学八（下）2.5一元一次不等式与一次函数同步练习

试卷更新日期：2024-02-25 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与 $y = - 2 x$ 的图象交于点 $(m ， - 4)$ ．则对于不等式 $\underset{˙}{k} \underset{˙}{x} \underset{˙}{-} \underset{˙}{b} < - 2 x$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $k < - 2$ 时， $x > 2$ B、当 $k < - 2$ 时， $x < 2$ C、当 $k > - 2$ 且 $k \neq 0$ 时， $x > - 2$ D、当 $k > - 2$ 且 $k \neq 0$ 时， $x < - 2$

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2. 如图，直线 $y = a x + b$ 与 $x$ 轴交于点 $A (4 ， 0)$ ，与直线 $y = m x$ 交于点 $B (2 ， n)$ ，则关于 $x$ 的不等式组 $0 < a x - b < m x$ 的解为（）

A、 $- 4 < x < - 2$ B、 $x < - 2$ C、 $x > 4$ D、 $2 < x < 4$

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3. 对于实数 $a ， b$ ，定义符号 $m i n {a ， b}$ 其意义为：当 $a \geq b$ 时， $m i n {a ， b} = b$ ；当 $a < b$ 时， $m i n {a ， b} = a$ ．例如： $m i n {2 ， - 1} = - 1$ ，若关于 $x$ 的函数 $y = m i n {2 x - 1 ， - x + 3}$ ，则该函数的最大值是（）

A、1 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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4. 如图，在平面直角坐标系中，若直线 $y_{1} = - x + a$ 与直线 $y_{2} = b x - 4$ 相交于点 P，则下列结论错误的是（）

A、方程-x+a=bx-4的解是 x=1 B、不等式-x+a<-3和不等式bx-4>-3的解集相同 C、不等式组bx-4<-x+a<0的解集是-2<x<1 D、方程组 $\{\begin{cases} y + x = a \\ y - b x = 4 \end{cases}$ 的解是 $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 3 \end{cases}$

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5. 函数 $y = | x + 1 | - 2$ ，当 $m \leq x \leq 4$ ，对应 $y$ 的取值范围为 $- 2 \leq y \leq 3$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m = - 1$ B、 $m \leq - 1$ C、 $- 1 \leq m < 4$ D、 $- 6 \leq m \leq - 1$

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6. 如图，已知直线 $y = a x + 3$ 与 $y = b x - 3$ 交点为P，根据图象有以下3个结论：① $a > 0$ ；② $b > 0$ ③ $x > 2$ 是不等式 $a x + 3 > b x - 3$ 的解集.其中正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 如图，一次函数y₁=ax+b（a，b是常数）的图象与y轴、x轴分别交于点A（0，3）、点B，正比例函数y₂= $\frac{1}{3}$ x的图象与一次函数y₁的图象交于点P（m，1），有下列结论：
①一次函数y₁的图象与y轴交点的纵坐标为3；
②方程ax+b=0的解为x=4.5；
③不等式ax+b<0的解集为x>4.5，其中正确的有（）

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

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8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = a x + b$ 与 $y = m x + n (a < m < 0)$ ，小聪根据图象得到如下结论：
① $2 m + n = 0$ ；②关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} y - m x = n \\ y - a x = b \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 2 \end{array}$ ；③关于x的方程 $a x + b = m x + n$ 的解为 $x = - 3$ ；④关于x的不等式 $(a - m) x \leq n - b$ 的解集是 $x \leq - 3$ ．
其中结论正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 如图，函数 $y = - 3 x$ 和 $y = k x + b$ 的图象相交于点 $A (m ， 4)$ ，则关于 x 的不等式 $k x + b + 3 x < 0$ 的解集为．

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10. 已知直线y₁=x，y₂= $\frac{1}{3}$ x+1，y₃=﹣ $\frac{4}{5}$ x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y₁ ， y₂ ， y₃中的最小值，则y的最大值为．

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11. 若直线 $l_{1} ： y_{1} = k_{1} x + b_{1}$ 经过点 $(0 ， 3)$ ， $l_{2} ： y_{2} = k_{2} x + b_{2}$ 经过点 $(3 ， 1)$ ，且 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 关于 $x$ 轴对称，则关于 $x$ 的不等式 $k_{1} x + b_{1} > k_{2} x + b_{2}$ 的解集为．

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12. 在平面直角坐标系中，点 $P (a ， b)$ ，点P的“变换点”Q的坐标定义如下：当 $a < b$ 时， $Q (a ， - b)$ ，当 $a \geq b$ 时， $Q (a + 1 ， b - 5)$ ，线段 $m ： y = - x + 2 (- 2 \leq x \leq 6)$ 按上述“变换点”组成新图形，直线 $y = 2 k x + 1$ 与新图形恰好有两个公共点，则k的取值范围．

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13. 一次函数 $y_{1} = k x + b$ 与 $y_{2} = x + a$ 的图象如图所示，则下列结论：① $k < 0$ ；②a＜0，b＞0；③当 $x = 3$ 时， $y_{1} = y_{2}$ ；④不等式 $k x + b > x + a$ 的解集是 $x > 3$ ，其中正确的结论有.

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14. 已知直线 $l ： y = (k - 2) x + b$ 过点 $(- 2 ， 4)$ ﹒则以下结论：① $b = 2 k$ ；②若当 $x > - 2$ 时， $y < 4$ ，则 $k > 2$ ；③方程组 ${\begin{array}{l} y = (k - 2) x + b \\ 2 x + y = 0 \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 4 \end{array}$ ；④若直线 $l$ 向右平移2个单位后过点 $(2 ， m)$ $(m < 0)$ ，且不等式 $(k - 2) (x - 2) + b > - m$ 的解集为 $x < \frac{2}{3}$ ，则 $k = - 1$ ，其中正确的有．（请填写序号）

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三、解答题

15. 已知一次函数 $y_{1} = a x + b$ 的图象交x轴和y轴于点B和D；另一个一次函数 $y_{2} = b x + a$ 的图象交x轴和y轴于点C和E，且两个函数的图象交于点 $A (1 ， 4)$

(1)、当a，b为何值时， $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的图象重合；

(2)、当 $0 < a < 4$ ，且在 $x < 1$ 时，则 $y_{1} > y_{2}$ 成立，求b的取值范围；

(3)、当 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{16}{3}$ 时，求线段 $D E$ 的长．

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四、实践探究题

16. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数y＝｜x－2｜的图像和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．

(1)、自变量x的取值范围是全体实数．下表是y与x的几组对应值：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
5
4
m
2
1
0
1
2
3
…
其中，m＝；

(2)、如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；

(3)、观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是；
当x＜2时，y随x的增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而；

(4)、进一步探究，
①不等式｜x－2｜≥1.5的解集是；
②若关于x的方程｜x－2｜＝kx (k≠0)只有一个解，则k的取值范围是．

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17. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线 $y_{1} = - \frac{1}{3} x + \frac{8}{3}$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $B$ ， $A$ ，与直线 $y_{2} = x$ 交于点 $C$ ．

(1)、求点 $C$ 的坐标；

(2)、根据图像，直接写出不等式 $y_{1} \geq y_{2}$ 的解集；

(3)、若点 $D$ 为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在点 $D$ ，使 $△ C O D$ 是以 $O C$ 为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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x	…	－3	－2	－1	0	1	2	3	4	5	…
y	…	5	4	m	2	1	0	1	2	3	…

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二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

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