【培优卷】2024年北师大版数学八（下）2.4一元一次不等式同步练习

试卷更新日期：2024-02-25 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知关于x的不等式 $2 x + a ⩽ 1$ 只有两个正整数解，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $- 5 < a < - 3$ B、 $- 5 ⩽ a < - 3$ C、 $- 5 < a ⩽ - 3$ D、 $- 5 ⩽ a ⩽ - 3$

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2. 物美超市（滨江浦沿店）某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（　　）

A、n≤m B、 $n ⩽ \frac{100 m}{100 + m}$ C、 $n ⩽ \frac{m}{100 + m}$ D、 $n ⩽ \frac{100 m}{100 - m}$

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3. 关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 2 k - 3 \\ x + 2 y = k \end{array}$ 的解中x与y的差不小于5，则k的取值范围为（　　）

A、 $k \geq 8$ B、 $k > 8$ C、 $k \leq 8$ D、 $k < 8$

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4. 如图所示，A ， B ， C ， D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（）

A、 $D < B < A < C$ B、 $B < D < C < A$ C、 $C < B < A < D$ D、 $B < C < D < A$

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5. 老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条 $\frac{a + b}{2}$ 元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（）

A、a＞b B、a＜b C、a＝b D、与a和b的大小无关

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6. 某商场新进单价为120元的护眼灯，标价为每个180元.某假期，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于 $5 %$ ，则最多可以打（）

A、七折 B、七五折 C、八八折 D、八折

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7. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 ${x}$ ，即当n为非负整数时，若 $n - \frac{1}{2} \leq x < n + \frac{1}{2}$ ，则 ${x} = n$ ．反之，当n为非负整数时，若 ${x} = n$ ，则 $n - \frac{1}{2} \leq x < n + \frac{1}{2}$ ．例如： ${0.36} = 0$ ， ${4.71} = 5$ ．给出下列说法：
① ${1.49} = 1$ ；
② ${2 x} = 2 {x}$ ；
③当 $x \geq 0$ ， m为非负整数时，有 ${m + 2023 x} = m + {2023 x}$ ；
④若 ${x - 1} = 3$ ，则非负实数x的取值范围为 $3.5 < x < 4.5$ ；
⑤满足 ${x} = \frac{6}{5} x$ 的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

8. 定义新运算：对于任意实数 $a$ ， $b$ ，都有 $a \otimes b = a (a - b) + 1$ ，例如： $3 \otimes 2 = 3 \times (3 - 2) + 1 = 4$ ，那么不等式 $2 \otimes x ⩾ 3$ 的非负整数解是

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9. 若x=3，y=b；x=a，y= $\frac{11}{2}$ 都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，且3a-2b=2c²+2c-10，则关于x的不等式c²x-3a＞10x+2b的解集是．

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10. 某工厂计划m天生产2160元个零件，若安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成.实际开工x天后，其中3人外出培训，剩下的工人每人每天多加工2个零件，不能按期完成这次任务，则a与m的数量关系是， a的值至少为

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11. 某高铁站客流量很大，某天开始售票时有 $n$ 个人在售票窗口等候购票，设购票人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．若同时开放4个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放6个售票窗口，需要10分钟恰好不出现排队现象，为减少旅客排队购票时间，车站承诺7分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放个售票窗口．

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三、综合题

12. 照明灯具经过多年的发展，大致历经白炽灯、节能灯、 $L E D$ 灯三个阶段，目前性价比最高的是 $L E D$ 灯，不仅更节能，而且寿命更长，同时也更加环保．某商场计划购进甲、乙两种型号 $L E D$ 照明灯共 $200$ 只，这两种照明灯的进价、售价如下表所示：

进价（元/只）
售价（元/只）
甲型号 $L E D$ 照明灯
          $30$
          $40$
乙型号 $L E D$ 照明灯
          $60$
          $75$

(1)、若购进甲、乙两种型号照明灯共用去 $7200$ 元，求甲、乙两种型号照明灯各进多少只？

(2)、若商场准备用不多于 $8400$ 元购进这两种型号照明灯，问甲型号的照明灯至少进多少只？

(3)、在（2）的条件下，该商场销售完 $200$ 只照明灯后能否实现盈利不低于 $2390$ 元的目标？若能，请你给出相应的采购方案；若不能，说明理由．

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13. 对于不等式： $a^{x} > a^{y}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），当 $a > 1$ 时， $x > y$ ；当 $0 < a < 1$ 时， $x < y$ ，请根据以上信息，解答以下问题：

(1)、解关于x的不等式： $2^{5 x - 1} > 2^{3 x + 1}$ ；

(2)、若关于x的不等式： ${(\frac{1}{2})}^{k x - 1} < {(\frac{1}{2})}^{5 x - 2}$ ，其解集中无正整数解，求k的取值范围；

(3)、若关于x的不等式： $a^{x - k} > a^{5 x - 2}$ ，当 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ 时，在 $- 2 \leq x \leq - 1$ 上总存在x的值使得其成立，求k的取值范围．

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四、实践探究题

14. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程 $x + 1 = 2$ 的解为 $x = 1$ ，而一元一次不等式 $2 x - 3 < x$ 的解集为 $x < 3$ ，不难发现 $x = 1$ 在 $x < 3$ 范围内，则一元一次方程 $x + 1 = 2$ 是一元一次不等式 $2 x - 3 < x$ 的“伴随方程”

(1)、在① $- 3 (x + 1) = 9$ ， ② $2 x + 3 = 5$ ， ③ $\frac{x + 5}{4} = \frac{1}{2}$ 三个一元一次方程中，是一元一次不等式 $3 (1 + x) > x - 4$ 的“伴随方程”的有（填序号）；

(2)、若关于x的一元一次方程 $3 x - a = 2$ 是关于x一元一次不等式 $3 (a + x) \geq 4 a + x$ 的“伴随方程”，且一元一次方程 $\frac{x - 1}{2} + 1 = x$ 不是关于x的一元一次不等式 $\frac{a}{2} < \frac{a - x}{3}$ 的“伴随方程”．
①求a的取值范围；

②直接写出代数式 $| a | + | a - 3 |$ 的最大值．

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15. 定义：对任意一个两位数 $a$ ，如果 $a$ 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”.将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为 $f (a)$ .
例如： $a = 12$ ，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为 $21 + 12 = 33$ ，和与11的商为 $33 \div 11 = 3$ ，所以 $f (12) = 3$ .根据以上定义，回答下列问题：

(1)、填空：
①下列两位数：50，63，77中，“迥异数”为；

②计算： $f (32) =$ .

(2)、如果一个“迥异数” $b$ 的十位数字是 $k$ ，个位数字是 $2 (k + 1)$ ，且 $f (b) = 11$ ，请求出“迥异数” $b$ .

(3)、如果一个“迥异数” $c$ ，满足 $c - 5 f (c) > 35$ ，请求出满足条件的 $c$ 的值.

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	进价（元/只）	售价（元/只）
甲型号 $L E D$ 照明灯	$30$	$40$
乙型号 $L E D$ 照明灯	$60$	$75$

【培优卷】2024年北师大版数学八（下）2.4一元一次不等式 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、综合题

四、实践探究题

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