备考2024年浙江中考数学一轮复习专题16.2二次函数真题集训

试卷更新日期：2024-02-24 类型：一轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 已知二次函数 $y = a x^{2} - (3 a + 1) x + 3 (a \neq 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、点 $(1 ， 2)$ 在该函数的图象上 B、当 $a = 1$ 且 $- 1 \leq x \leq 3$ 时， $0 \leq y \leq 8$ C、该函数的图象与x轴一定有交点 D、当 $a > 0$ 时，该函数图象的对称轴一定在直线 $x = \frac{3}{2}$ 的左侧

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2. 已知点 A（a，2）、B（b，2）、C（c，7）都在抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} - 2$ 上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（）

A、若 $c < 0$ ，则 $a < c < b$ B、若 $c < 0$ ，则 $a < b < c$ C、若 $c > 0$ ，则 $a < c < b$ D、若 $c > 0$ ，则 $a < b < c$

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3. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t² ，那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是（）

A、5 B、10 C、1 D、2

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4. 已知二次函数 $y = a {(x - 1)}^{2} - a (a \neq 0)$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，y的最小值为 $- 4$ ，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或4 B、 $\frac{4}{3}$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ 或4 D、 $- \frac{1}{2}$ 或4

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5. 设二次函数 $y = a (x - m) (x - m - k) (a > 0 ， m ， k$ 是实数 $)$ ，则（）

A、当 $k = 2$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- a$ B、当 $k = 2$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- 2 a$ C、当 $k = 4$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- a$ D、当 $k = 4$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- 2 a$

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6. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x (a$ 是常数， $a < 0)$ 的图象上有 $A (m ， y_{1})$ 和 $B (2 m ， y_{2})$ 两点.若点A，B都在直线 $y = - 3 a$ 的上方，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $1 < m < \frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3} < m < 2$ C、 $\frac{4}{3} < m < \frac{3}{2}$ D、 $m > 2$

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7. 在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x²+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（）

A、（﹣3，﹣6） B、（1，﹣4） C、（1，﹣6） D、（﹣3，﹣4）

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8. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的对称轴是 $x = - 1$ ，直线 $l ∥ x$ 轴，且交抛物线于点 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ ，下列结论错误的是（）

A、 $b^{2} > - 8 a$ B、若实数 $m \neq - 1$ ，则 $a - b < a m^{2} + b m$ C、 $3 a - 2 > 0$ D、当 $y > - 2$ 时， $x_{1} \cdot x_{2} < 0$

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9. 如图，要围一个矩形菜园 $A B C D$ ，共中一边 $A D$ 是墙，且 $A D$ 的长不能超过 $26 m$ ，其余的三边 $A B ， B C ， C D$ 用篱笆，且这三边的和为 $40 m$ ．有下列结论：
① $A B$ 的长可以为 $6 m$ ；
② $A B$ 的长有两个不同的值满足菜园 $A B C D$ 面积为 $192 m^{2}$ ；
③菜园 $A B C D$ 面积的最大值为 $200 m^{2}$ ．
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 在“探索函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的系数 $a$ ， $b$ ， $c$ 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）.同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中 $a$ 的值最大为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t².现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v₁ ，经过时间t₁落回地面，运动过程中小球的最大高度为h₁（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v₂ ，经过时间t₂落回地面，运动过程中小球的最大高度为h₂（如图2）.若h₁＝2h₂ ，则t₁：t₂＝.

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴相交于点 $A (1 ， 0)$ 、点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴相交于点C ，点D在抛物线上，当 $C D ∥ x$ 轴时， $C D =$ ．

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13. 如图，在直线 $l$ ： $y = x - 4$ 上方的双曲线 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 上有一个动点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $l$ 于点 $Q$ ，连接 $O P$ ， $O Q$ ，则 $△ P O Q$ 面积的最大值是．

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14. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与正比例函数 $y = k x$ 的图象相交于A ， B两点，已知点A的横坐标为 $- 3$ ，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线 $x = - 1$ ．下列结论：① $a b c < 0$ ；② $3 b + 2 c > 0$ ；③关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = k x$ 的两根为 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 2$ ；④ $k = \frac{1}{2} a$ ．其中正确的是．（只填写序号）

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15. 我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数 $y = 2 x$ 的图象向上平移1个单位得到 $y = 2 x + 1$ 的图象；将二次函数 $y = x^{2} + 1$ 的图象向左平移2个单位得到 $y = {(x + 2)}^{2} + 1$ 的图象．若将反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是．

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一个图形上的点都在一边平行于 $x$ 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函数 $y =$ $(x - 2)^{2} (0 ⩽ x ⩽ 3)$ 的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形 $O A B C$ .若二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} + b x + c (0 ⩽ x ⩽ 3)$ 图象的关联矩形恰好也是矩形 $O A B C$ ，则 $b =$ .

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三、解答题（共7题，共54分）

17. 在二次函数 $y = x^{2} - 2 t x + 3 (t > 0)$ 中，

(1)、若它的图象过点 $(2 ， 1)$ ，则t的值为多少？

(2)、当 $0 \leq x \leq 3$ 时，y的最小值为 $- 2$ ，求出t的值：

(3)、如果 $A (m - 2 ， a) ， B (4 ， b) ， C (m ， a)$ 都在这个二次函数的图象上，且 $a < b < 3$ ，求m的取值范围。

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18. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x - 3$ （ $b$ 为常数）．

(1)、该函数图象与 $x$ 轴交于 $A 、 B$ 两点，若点 $A$ 坐标为 $(3 ， 0)$ ，
①则 $b$ 的值是 ▲ ，点 $B$ 的坐标是 ▲ ；
②当 $0 < y < 5$ 时，借助图像，求自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、对于一切实数 $x$ ，若函数值 $y > t$ 总成立，求 $t$ 的取值范围（用含 $b$ 的式子表示）；

(3)、当 $m < y < n$ 时（其中 $m 、 n$ 为实数， $m < n$ ），自变量 $x$ 的取值范围是 $1 < x < 2$ ，求 $n$ 和 $b$ 的值以及 $m$ 的取值范围．

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19. 某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示：
销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200

(1)、试求出y关于x的函数表达式．

(2)、设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？

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20. 某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为 $10$ 万元 $/$ 件 $.$ 设第 $x$ 个生产周期设备的售价为 $z$ 万元 $/$ 件，售价 $z$ 与 $x$ 之间的函数解析式是 $z = {\begin{array}{l} 15 ， 0 < x \leq 12 \\ m x + n ， 12 < x \leq 20 \end{array}$ ，其中 $x$ 是正整数 $.$ 当 $x = 16$ 时， $z = 14$ ；当 $x = 20$ 时， $z = 13$ ．

(1)、求 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、设第 $x$ 个生产周期生产并销售完设备的数量为 $y$ 件，且 $y$ 与 $x$ 满足关系式 $y = 5 x + 20$ ．
$①$ 当 $12 < x \leq 20$ 时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？

$②$ 当 $0 < x \leq 20$ 时，若有且只有 $3$ 个生产周期的利润不小于 $a$ 万元，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 如图，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A$ 和点 $C (1 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B (0 ， 3)$ ．

(1)、求此二次函数的解析式；

(2)、设二次函数图象的顶点为 $P$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $Q$ ，求四边形 $A O B P$ 的面积（请在图1中探索）；

(3)、二次函数图象的对称轴上是否存在点 $M$ ，使得 $△ A M B$ 是以 $A B$ 为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图 $2$ 中探索）．

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22. 某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段.图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程 $s (m)$ 与时间 $t (s)$ 的近似函数图象.启航阶段的函数表达式为 $s = k t^{2} (k \neq 0)$ ；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程 $s (m)$ 与时间 $t (s)$ 的函数表达式为 $s = k (t - 70)^{2} + h (k \neq 0)$ .

(1)、求出启航阶段 $s (m)$ 关于 $t (s)$ 的函数表达式(写出自变量的取值范围).

(2)、已知途中阶段龙舟速度为 $5 m / s$ .
①当 $t = 90 s$ 时，求出此时龙舟划行的总路程.
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时， $t ⩽ 85.20 s$ 视为达标.请说明该龙舟队能否达标.

(3)、冲刺阶段，加速期龙舟用时 $1 s$ 将速度从 $5 m / s$ 提高到 $5.25 m / s$ ，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟以完成训练所需时间(精确到 $0.01 s$ ).

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23. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x²-4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0，5），图象的顶点为M ．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A ， C分别在x轴，t轴上，顶点B的坐标为（1，5）．

(1)、求c的值及顶点M的坐标．

(2)、如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位（0＜t＜3）得到对应的矩形A′B′C′D′．已知边C′D′，A′B′分别与函数y＝x²-4x+c的图象交于点P ， Q ，连结PQ ，过点P作PG⊥A′B′于点G ．
①当t＝2时，求QG的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t ，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

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四、实践探究题（共2题，共18分）

24. 已知关于 $x$ 的函数 $y = a x^{2} + b x + c$ .

(1)、若 $a = 1$ ，函数的图象经过点 $(1 ， - 4)$ 和点 $(2 ， 1)$ ，求该函数的表达式和最小值；

(2)、若 $a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = m + 1$ 时，函数的图象与 $x$ 轴有交点，求 $m$ 的取值范围.

(3)、阅读下面材料：
设 $a > 0$ ，函数图象与 $x$ 轴有两个不同的交点 $A$ ， $B$ ，若 $A$ ， $B$ 两点均在原点左侧，探究系数 $a$ ， $b$ ， $c$ 应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：

①因为函数的图象与 $x$ 轴有两个不同的交点，所以 $Δ = b^{2} - 4 a c > 0$ ；

②因为 $A$ ， $B$ 两点在原点左侧，所以 $x = 0$ 对应图象上的点在 $x$ 轴上方，即 $c > 0$ ；

③上述两个条件还不能确保 $A$ ， $B$ 两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需 $- \frac{b}{2 a} < 0$ .

综上所述，系数 $a$ ， $b$ ， $c$ 应满足的条件可归纳为： ${\begin{array}{l} a > 0 \\ Δ = b^{2} - 4 a c > 0 \\ c > 0 \\ - \frac{b}{2 a} < 0 \end{array}$

请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：

若函数 $y = a x^{2} - 2 x + 3$ 的图象在直线 $x = 1$ 的右侧与 $x$ 轴有且只有一个交点，求 $a$ 的取值范围.

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25. 【问题背景】

“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．

【实验操作】

综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：

流水时间t/min	0	10	20	30	40
水面高度h/cm（观察值）	30	29	28.1	27	25.8

任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．

【建立模型】

小组讨论发现：“ $t = 0$ ， $h = 30$ ”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用 $t = 0$ 时， $h = 30$ ； $t = 10$ 时， $h = 29$ 这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．

【反思优化】

经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．

任务3 ⑴计算任务2得到的函数解析式的w值．

⑵请确定经过 $(0 ， 30)$ 的一次函数解析式，使得w的值最小．

【设计刻度】

得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．

任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．

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销售价格x（元/千克）	50	40
日销售量y（千克）	100	200

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一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共7题，共54分）

四、实践探究题（共2题，共18分）

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