备考2024年浙江中考数学一轮复习专题16.1二次函数基础夯实

试卷更新日期：2024-02-24 类型：一轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列函数不属于二次函数的是（）

A、 $y = (x - 1) (x + 2)$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} - x^{2}$ C、 $y = 2 {(x - 1)}^{2}$ D、 $y = 1 - x^{2}$

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2. 若A（ $- \frac{13}{4}$ ， $y_{1}$ ），B（ $- \frac{5}{4}$ ， $y_{2}$ ），C（ $\frac{1}{4}$ ， $y_{3}$ ）为二次函数 $y ＝ x^{2} + 4 x - 5$ 的图象上的三点，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$ B、 $y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3}$ C、 $y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2}$ D、 $y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$

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3. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝-ax²+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在平面直角坐标系中，二次函数y= $x^{2} + m x + m^{2} - m$ （m为常数)的图象经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）

A、最大值5 B、最大值 $\frac{15}{4}$ C、最小值5 D、最小值 $\frac{15}{4}$

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5. 在研究二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 时，下面是某小组列出的部分 $x$ 和 $y$ 的对应值：
$x$
…
$- 8$
$- 5$
$- 3$
$- 1$
1
…
$y = a x^{2} + b x + c$
…
$- 22$
8
8
$- 8$
$- 40$
…
根据表格可知，下列说法中错误的是（）

A、该二次函数图象的对称轴是直线 $x = - 4$ B、关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = - 8$ 的解是 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = - 7$ C、 $y$ 的最大值是8 D、 $a + b + c$ 的值是 $- 40$

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6. 若抛物线的函数表达式为y=(x-2)²-9，有下列结论：
①当x=2时，y取得最小值-9；
②若点(3，y₁)，(4，y₂)在其图象上，则y₂>y₁；
③将其函数图象向左平移3个单位，再向上平移4个单位所得抛物线的函数表达式为 $y = (x - 5)^{2} - 5 ；$ ④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6.其中正确的是（）

A、②③④ B、①②④ C、①③ D、①②③④

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7. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ ，与 $x$ 轴正半轴交于 $A ， B$ 两点，与 $y$ 轴负半轴交于点 $C$ ．
① $a b c > 0$ ；

② $b^{2} - 4 a c < 0$ ；

③若点 $B$ 的坐标为 $(4 ， 0)$ ，且 $A B \geq 3$ ，则 $4 b + 3 c > 0$ ；

④若抛物线的对称轴是直线 $x = 3$ ， $m$ 为任意实数；

则 $a (m - 3) (m + 3) \leq b (3 - m)$ ．

上述结论中，正确的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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8. 已知 $y = 2 x^{2} - 4 x + 1$ ，且 ${\begin{array}{l} x + n = 2 m - 3 \\ 2 x - n = m \end{array}$ ，其中 $m \leq 3$ ， $n \geq - 3$ ，则 $y$ 的取值范围（）

A、 $- 1 \leq y \leq 17$ B、 $1 \leq y \leq 17$ C、 $- 1 \leq y \leq 8$ D、 $- 1 \leq y \leq 1$

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9. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”.若点 $A (1 ， m)$ ， $B (n ， - 4)$ 是关于 $x$ 的“黄金函数” $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ 上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线 $x = 2$ 的右侧；则下列结论：① $a + c = 0$ ；② $b = 4$ ：③ $\frac{1}{4} a + \frac{1}{2} b + c < 0$ ；④ $- 1 < a < 0$ ，正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①③④

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10. 九年级一班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形(底边靠墙)，半圆形这三种方案，最佳方案是（）

A、方案1 B、方案2 C、方案3 D、三种方案使得菜园面积一样大

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式。

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12. 将二次函数 $y = x^{2} - 6 x + 8$ 用配方法化成 $y = (x - h)^{2} + k$ 的形式为y= ．

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13. 将抛物线y＝x²向下平移3个单位，再向右平移2个单位后，所得抛物线的解析式为.

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14. $y$ 关于 $x$ 的二次函数 $y = a x^{2} + a^{2}$ ，在 $- 1 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时有最大值6，则 $a =$ ．

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15. 已知在二次函数y＝ax²+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
8
3
0
-1
0
…
则满足方程ax²+bx+c＝0的解是．

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16. 抛物线 $y = 2 x^{2} - a x + m - a$ 与 $x$ 轴相交于不同两点 $A (x_{1} ， 0)$ 、 $B (x_{2} ， 0)$ ，若存在整数 $a$ 及整数 $m$ ，使得 $1 < x_{1} < 3$ 和 $1 < x_{2} < 3$ 同时成立，则 $m =$ ．

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三、综合题（共7题，共54分）

17. 已知二次函数y＝x²﹣2x﹣3

(1)、求函数图象的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象；

(2)、根据图象直接回答：当y＜0时，求x的取值范围；当y＞﹣3时，求x的取值范围.

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18. 毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．

(1)、求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)、求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

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19.
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y= $- \frac{1}{6}$ x²+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为 $\frac{17}{2}$ m．

(1)、求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

(2)、一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

(3)、在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

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20. 某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)有如下表所示的关系：
销售单价x(元/千克)
---
20
22.5
25
37.5
40
…
销售量y(千克)
---
30
27.5
25
12.5
10
…

(1)、根据表中的数据在如图的坐标系中描点(x，y)，并用平滑的线连结这些点，请用所学知识求出y关于x的函数表达式.

(2)、设该超市每天销售这种商品的利润为w(元)(不计其他成本).
①求出w关于x的函数表达式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少.
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w=240元时的销售单价.

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21. 如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得 $O A$ 距离为 $6 m$ ，若以点O为原点， $O A$ 所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面 $1 m$ 的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线 $C_{1}$ ： $y = a {(x - 3)}^{2} + 2$ 的一部分，小静恰在点 $C (0 ， c)$ 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线 $C_{2}$ ： $y = - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{n}{8} x + c + 1$ 的一部分．

(1)、抛物线 $C_{1}$ 的最高点坐标为；

(2)、求a ， c的值；

(3)、小林在x轴上方 $1 m$ 的高度上，且到点A水平距离不超过 $1 m$ 的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为．

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22. 如图，抛物线y=﹣ $\frac{1}{2}$ x²+ $\frac{3}{2}$ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．

(1)、试求A，B，C的坐标；

(2)、将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；

②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；

(3)、在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．

(1)、求二次函数的解析式和直线BD的解析式；

(2)、点P是直线BD上的一个动点，过点P作X轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；

(3)、在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为 $2 \sqrt{2}$ ，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

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四、实践探究题（共2题，共18分）

24. 【定义】在平面直角坐标系中，有一条直线 $x = m$ ，对于任意一个函数图象，把该图象在直线 $x = m$ 上的点以及直线 $x = m$ 右边的部分向上平移 $n$ （ $n$ 为正整数）个单位长度，再把直线 $x = m$ 左边的部分向下平移 $n$ 个单位长度，得到一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线 $x = m$ 的“ $n$ 移函数”，例如：函数 $y = x$ 关于直线 $x = 0$ 的2移函数为 $y = {\begin{array}{l} x + 2 (x \geq 0) \\ x - 2 (x < 0) \end{array}$ .
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、已知点 $P (3 ， 2)$ 在函数 $y = k x$ （ $k \neq 0$ ）关于直线 $x = 1$ 的“3移函数”图象上，求 $k$ 的值；

(2)、若二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 4$ 关于直线 $x = 3$ 的“ $n$ 移函数”与 $x$ 轴有三个公共点，设 $m$ 是这三个点的横坐标之和，是否存在一个正整数 $n$ ，使得 $m$ 的值为整数？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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25. 根据以下素材，探究完成任务


素材1	图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计)，碗高GF=7cm，碗底宽AB=3cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD= 12cm，此时面汤最大深度EG= 6cm，
素材2	如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当点A离MN距离为1.8cm时停止.
问题解决
任务1	确定碗体形状	在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式。
任务2	拟定设计方案1	根据图2位置，把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度(离桌面MN距离)为5cm时，求此时碗中液面宽度。
任务3	拟定设计方案2	如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗中液面宽度CH。

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$x$	…	$- 8$	$- 5$	$- 3$	$- 1$	1	…
$y = a x^{2} + b x + c$	…	$- 22$	8	8	$- 8$	$- 40$	…

销售单价x(元/千克)	---	20	22.5	25	37.5	40	…
销售量y(千克)	---	30	27.5	25	12.5	10	…

备考2024年浙江中考数学一轮复习专题16.1二次函数 基础夯实

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、综合题（共7题，共54分）

四、实践探究题（共2题，共18分）

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