备考2024年浙江中考数学一轮复习专题12.2分式方程真题集训

试卷更新日期：2024-02-24 类型：一轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 将方程 $\frac{1}{x - 1} + 3 = \frac{3 x}{1 - x}$ 去分母，两边同乘 $(x - 1)$ 后的式子为（）

A、 $1 + 3 = 3 x (1 - x)$ B、 $1 + 3 (x - 1) = - 3 x$ C、 $x - 1 + 3 = - 3 x$ D、 $1 + 3 (x - 1) = 3 x$

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2. 关于x的分式方程 $\frac{7 x}{x - 1}$ +5= $\frac{2 m - 1}{x - 1}$ 有增根，则m的值为（）

A、1 B、3 C、4 D、5

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3. 若关于x的方程 $\frac{x + m}{x - 3}$ + $\frac{3 m}{3 - x}$ =3的解为正数，则m的取值范围是（　　）

A、m＜ $\frac{9}{2}$ B、m＜ $\frac{9}{2}$ 且m≠ $\frac{3}{2}$ C、m＞﹣ $\frac{9}{4}$ D、m＞﹣ $\frac{9}{4}$ 且m≠﹣ $\frac{3}{4}$

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4. 若整数a使得关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 2} + \frac{a + 1}{2 - x} = 2$ 解的取值范围为 $0 \leq x \leq 3$ ，则符合条件的a值可以为（）

A、5 B、4 C、1 D、0

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5. 若实数 $a$ 既使得关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} \frac{x}{2} + 1 \leq \frac{x + 4}{3} \\ x + 1 > \frac{a + x}{2} \end{matrix}$ 有解，又使得关于 $y$ 的分式方程 $\frac{3 - a y}{3 - y} - 1 = \frac{3}{y - 3}$ 有整数解，则满足条件的所有整数 $a$ 的和为（）

A、4 B、2 C、0 D、-2

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6. 某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程 $\frac{5000}{2 x} = \frac{4000}{x}$ ﹣30，则方程中x表示（）

A、足球的单价 B、篮球的单价 C、足球的数量 D、篮球的数量

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7. 为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛.901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{40}{1.5 x}$ ﹣ $\frac{30}{x}$ ＝20 B、 $\frac{40}{x}$ ﹣ $\frac{30}{1.5 x}$ ＝20 C、 $\frac{30}{x}$ ﹣ $\frac{40}{1.5 x}$ ＝20 D、 $\frac{30}{1.5 x}$ ﹣ $\frac{40}{x}$ ＝20

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8. 甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物，设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（）

A、 $\frac{500}{x} = \frac{800}{x + 60}$ B、 $\frac{500}{x} = \frac{800}{x - 60}$ C、 $\frac{500}{x + 60} = \frac{800}{x}$ D、 $\frac{500}{x - 60} = \frac{800}{x}$

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9. 某校学生去距离学校 $12 k m$ 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 $20 m i n$ 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（）．

A、 $0.2 k m / m i n$ B、 $0.3 k m / m i n$ C、 $0.4 k m / m i n$ D、 $0.6 k m / m i n$

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10. 以下四个命题： $①$ 用换元法解分式方程 $- \frac{x^{2} + 1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} = 1$ 时，如果设 $\frac{x^{2} + 1}{x} = y$ ，那么可以将原方程化为关于 $y$ 的整式方程 $y^{2} + y ﹣ 2 ＝ 0$ ； $②$ 如果半径 $r$ 为的圆的内接正五边形的边长为 $a$ ，那么 $a ＝ 2 r c o s 54 °$ ； $③$ 有一个圆锥，与底面圆直径是 $\sqrt{3}$ 且体积为 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ 的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为 $\frac{4}{3}$ ；④二次函数 $y ＝ a x^{2} ﹣ 2 a x + 1$ ，自变量的两个值 $x_{1} ， x_{2}$ 对应的函数值分别为 $y_{1} 、 y_{2}$ ，若 $| x_{1} ﹣ 1 | > | x_{2} ﹣ 1 |$ ，则 $a （ y_{1} ﹣ y_{2} ） > 0$ ．其中正确的命题的个数为（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 方程 $\frac{3 x}{x + 1} = \frac{9}{x + 1}$ 的解是.

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12. 如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是．

先化简，再求值： $\frac{3 - x}{x - 4} + 1$ ，其中 $x =$

解：原式 $= \frac{3 - x}{x - 4} \cdot (x - 4) + (x - 4) \dots ①$

$= 3 - x + x - 4$

$= - 1$

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13. 若关于x的方程 $\frac{4 x}{x - 2}$ ﹣5＝ $\frac{m x}{2 - x}$ 无解，则m的值为．

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14. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a $\otimes$ b= $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ．若(x+1) $\otimes$ x= $\frac{2 x + 1}{x}$ ，则x的值为

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15. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程。

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16. 3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有人．

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三、计算题（共6分）

17.

(1)、计算： $(x + 3 y)^{2} - (x + 3 y) (x - 3 y)$ ；

(2)、解方程： $\frac{x}{2 x - 1} = 2 - \frac{3}{1 - 2 x}$ ．

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四、解答题（共7题，共60分）

18. 小丁和小迪分别解方程

\frac{x}{x - 2} - \frac{x - 3}{2 - x} = 1

过程如下：

小丁：

解：去分母，得 $x - (x - 3) = x - 2$

去括号，得 $x - x + 3 = x - 2$

合并同类项，得 $3 = x - 2$

解得 $x = 5$

∴原方程的解是 $x = 5$

小迪：

解：去分母，得 $x + (x - 3) = 1$

去括号得 $x + x - 3 = 1$

合并同类项得 $2 x - 3 = 1$

解得 $x = 2$

经检验， $x = 2$ 是方程的增根，原方程无解

你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程。

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19. 随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为 $12 k m$ ，甲路线的平均速度为乙路线的 $\frac{3}{2}$ 倍，甲路线的行驶时间比乙路线少 $10 m i n$ ，求甲路线的行驶时间．

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20. 为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：

信息—

工程队	每天施工面积（单位： $m^{2}$ ）	每天施工费用（单位：元）
甲	$x + 300$	3600
乙	x	2200

信息二

甲工程队施工 $1800 m^{2}$ 所需天数与乙工程队施工 $1200 m^{2}$ 所需天数相等．

(1)、求x的值；

(2)、该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于

15000 m^{2}

．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?

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21. 某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．

(1)、求第二批每个挂件的进价；

(2)、两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？

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22. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．

(1)、用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．

(2)、若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．

②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）

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23. 某公司生产的一种营养品信息如下表.已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克.

营养品信息表
营养成分	每千克含铁42毫克
配料表	原料	每千克含铁
	甲食材	50毫克
	乙食材	10毫克
规格	每包食材含量	每包单价
A包装	1千克	45元
B包装	0.25千克	12元

(1)、问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？

(2)、该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完.

①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？

②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出.若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？

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24. 为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：

衬衫价格	甲	乙
进价（元 $/$ 件）	$m$	$m - 10$
售价（元 $/$ 件）	260	180

若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同.

(1)、求甲、乙两种衬衫每件的进价；

(2)、要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；

(3)、在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠

a

元

(60 < a < 80)

出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

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