备考2024年浙江中考数学一轮复习专题12.1分式方程基础夯实

试卷更新日期：2024-02-24 类型：一轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列是关于 $x$ 的分式方程的是（）

A、 $\frac{x + 2}{4} - 3 = \frac{3 + x}{6}$ B、 $\frac{x - 7}{a + 7} = 3 - x$ C、 $\frac{x}{a} - \frac{x}{b} = 1$ D、 $\frac{2 x}{x^{2} + 2} = 5$

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2. 分式方程 $\frac{x - 2}{x - 3} = \frac{2}{x - 3}$ 的解为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 已知关于x的分式方程 $\frac{2 x - m}{x - 1} - \frac{3}{1 - x} = 1$ 的解是正数，则m的取值范围是（）

A、 $m > 4$ B、 $m < 4$ C、 $m > 4$ 且 $m \neq 5$ D、 $m < 4$ 且 $m \neq 1$

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4. 若关于x的分式方程 $\frac{m - 1}{x - 1}$ =2的解不大于2，则m的取值范围是（）

A、m≤3 B、m≠1 C、m＜3且m≠-1 D、 $m \leq 3 且 m \neq 1$

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5. 解分式方程 $\frac{x}{2 x - 1} + \frac{2}{1 - 2 x} = 3$ 时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）

A、x+2＝3 B、x﹣2＝3 C、x﹣2＝3(2x﹣1) D、x+2＝3(2x﹣1)

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6. 解分式方程 $\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{x^{2} - 1}$ 分以下四步，其中错误的一步是（）

A、最简公分母是(x+1)(x-1) B、去分母，得2(x-1)+3(x+1)=6 C、解整式方程，得x=1 D、原方程的解为x=1

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7. 用换元法解方程 $\frac{x^{2} + 1}{x + 1} + \frac{6 (x + 1)}{x^{2} + 1} = 7$ 时，下列换元方法中最合适的换元方法是　（）

A、设 $y = x^{2} + 1$ B、设 $y = x + 1$ C、 $y = \frac{x^{2} + 1}{x + 1}$ D、 $y = \frac{1}{x^{2} + 1}$

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8. 若关于x的分式方程 $\frac{x - 1}{x - 3} = \frac{2 - m}{3 - x} + 2$ 有增根，且关于y的不等式 $m + n \leq y \leq 8$ 中有2个整数解，则整数n是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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9. 两个小组同时攀登一座480m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.5倍，第一组比第二组早0.5h到达顶峰，设第二组的攀登速度为vm/min，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{480}{1.5 v} = \frac{480}{v} + 0.5$ B、 $\frac{480}{1.5 v} = \frac{480}{v} - 0.5$ C、 $\frac{480}{1.5 v} = \frac{480}{v} + 30$ D、 $\frac{480}{1.5 v} = \frac{480}{v} - 30$

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10. 甜瓜是某地的特色时令水果.甜瓜一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上甜瓜数量陡增，而自己的甜瓜卖相已不太好，于是果断地将剩余甜瓜以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利 750元，则小李购进甜瓜的质量为（）

A、180 kg B、200 kg C、240 kg D、300 kg

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 写出一个解为1的分式方程：．

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12. 若关于x的分式方程 $\frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} = \frac{x + 2 m}{x^{2} - 4}$ 的解大于1，则m的取值范围是．

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13. 已知关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 4} = 2 + \frac{a}{x - 4}$ 无解，则a的值为

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14. 若整数 $a$ 使得关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 (x - 1) > 3 \\ \frac{1 - x}{2} \geq 3 - a \end{array}$ 有解，且使得关于 $x$ 的分式方程 $2 + \frac{a}{x - 4} = \frac{10 - x}{x - 4}$ 有正整数解，那么符合条件的所有整数 $a$ 的和为．

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15. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后来客户要求提前 5天交货，为保证按时完成任务，则每天应多做件.

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16. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a $\otimes$ b= $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ．若(x+1) $\otimes$ x= $\frac{2 x + 1}{x}$ ，则x的值为

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三、计算题（共2题，共10分）

17. 解下列方程：

(1)、 $\frac{x}{x - 1} = \frac{4}{x^{2} - 1} + 1 .$

(2)、 $\frac{1}{x - 2} + 2 = \frac{1 - x}{2 - x}$ .

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18. 解方程： $\frac{x}{x + 1} - \frac{6 x + 6}{x} = 1$

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四、解答题（共4题，共30分）

19. 若分式方程 $\frac{m}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2} = \frac{1}{x - 2}$ 有增根，求 m的值.

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20. 小丁和小迪分别解方程

\frac{x}{x - 2}

- \frac{x - 3}{2 - x} = 1

的过程如下：

小丁：
解：去分母，得

x - (x - 3) = x - 2

去括号，得

x - x + 3 = x - 2

合并同类项，得

3 = x - 2

解得，

x = 5

∴原方程的解是x=5.

小迪：
解：去分母，得

x + (x - 3) = 1

去括号，得

x + x - 3 = 1

合并同类项，得

2 x - 3 = 1

解得，

x = 2

∴经检验x=2是方程的增根，原方程无解.

你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程.

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21. 已知，关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{2 x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$ ．

(1)、当 $a = 2$ ， $b = 1$ 时，求分式方程的解；

(2)、当 $a = 1$ 时，求 $b$ 为何值时分式方程 $\frac{a}{2 x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$ 无解；

(3)、若 $a = 3 b$ ，且 $a$ 、 $b$ 为正整数，当分式方程 $\frac{a}{2 x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$ 的解为整数时，求 $b$ 的值．

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22. 某镇道路改造工程，预计由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲队单独施工完成的天数是乙队单独施工完成天数的2倍．

(1)、求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；

(2)、若甲队独做n天后，再由甲、乙两队合作q天可完成此项工程，则n ， q之间的关系式为；

(3)、为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后甲队的工作效率是 $\frac{1}{a}$ ，乙队的工作效率是甲队工作效率的m（m为常数）倍．若提高效率后两队合作10天完成整个工程的 $\frac{2}{3}$ ，求甲队提高后的工作效率是提高前工作效率的几倍（用含m的代数式表示）．

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五、实践探究题（共3题，共32分）

23. 我们把形如 $x + \frac{a b}{x} = a + b (a b \neq 0) ，$ 且两个解分别为：x₁=a，x₂=b的方程称为十字分式方程.
例如：若 $x + \frac{3}{x} = 4$ 为十字分式方程，则可将它化为 $x + \frac{1 \times 3}{x} = 1 + 3 ，$ 得 x₁ =1，x₂ =3.
再如：若 $x + \frac{8}{x} = - 6$ 为十字分式方程，则可将它化为 $x + \frac{(- 2) \times (- 4)}{x} = (- 2) + (- 4) ，$ 得 $x_{1} = - 2 ， x_{2} = -$ 4.
应用上面的结论解答下列问题：

(1)、若 $x + \frac{6}{x} = - 5$ 为十字分式方程，则x₁= ， x₂=.

(2)、若十字分式方程 $x - \frac{5}{x} = - 2$ 的两个解分别为 $x_{1} = m ， x_{2} = n ，$ 求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值.

(3)、若关于x的十字分式方程 $x - \frac{2 k^{2} + 3 k}{x - 2} = - k - 1$ 的两个解分别为 $x_{1} ， x_{2} （ k > 0 ， x_{1} > x_{2}) ，$ 求 $\frac{x_{1} - 2}{x_{2} + 1}$ 的值.

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24. 【综合与实践】
学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下：购买甲种足球共用2000元，购买乙种足球共花费1400元.已知购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.设购买一个甲种足球的单价是 $x$ 元。

(1)、请用含 $x$ 的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；

(2)、若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价；

(3)、为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了10％，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了10％.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量.

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25. 阅读以下微信群聊，完成任务．

任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？

任务二：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费多少钱？

任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？