备考2024年浙江中考数学一轮复习专题11.2一元二次方程真题集训

试卷更新日期：2024-02-24 类型：一轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x ，那么可列出方程是（　　）

A、20（1+2x）＝31.2 B、20（1+2x）-20＝31.2 C、20（1+x）²＝31.2 D、20（1+x）²-20＝31.2

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2. 若关于x的方程x²+6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（）

A、36 B、-36 C、9 D、-9

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3. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ 的两个根，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 6$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 6$ C、 $x_{1} · x_{2} = \frac{7}{6}$ D、 $x_{1} · x_{2} = 7$

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4. 已知x₁ ， x₂是关于x的方程x²+bx﹣3=0的两根，且满足x₁+x₂﹣3x₁x₂=5，那么b的值为（）

A、4 B、﹣4 C、3 D、﹣3

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5. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ ，配方后得到的方程是（）

A、 ${(x + 6)}^{2} = 28$ B、 ${(x - 6)}^{2} = 28$ C、 ${(x + 3)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 1$

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6. 直线 $y = x + a$ 不经过第二象限，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 实数解的个数是（）.

A、0个 B、1个 C、2个 D、1个或2个

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7. 若一个点的坐标满足 $(k ， 2 k)$ ，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于 $x$ 的二次函数 $y = (t + 1) x^{2} + (t + 2) x + s$ （ $s ， t$ 为常数， $t \neq - 1$ ）总有两个不同的倍值点，则 $s$ 的取值范围是（）

A、 $s < - 1$ B、 $s < 0$ C、 $0 < s < 1$ D、 $- 1 < s < 0$

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8. 如图，现要在抛物线 $y = x (4 - x)$ 上找点 $P (a ， b)$ ，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若 $b = 5$ ，则点P的个数为0；

乙：若 $b = 4$ ，则点P的个数为1；

丙：若 $b = 3$ ，则点P的个数为1．

下列判断正确的是（）

A、乙错，丙对 B、甲和乙都错 C、乙对，丙错 D、甲错，丙对

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9. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $A (- 3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是抛物线的顶点，对称轴为直线 $x = - 1$ ，其部分图象如图所示，则以下 $4$ 个结论： $① a b c > 0$ ； $② E (x_{1} ， y_{1})$ ， $F (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 上的两个点，若 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} < - 2$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ； $③$ 在 $x$ 轴上有一动点 $P$ ，当 $P C + P D$ 的值最小时，则点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{3}{7} ， 0)$ ； $④$ 若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b (x - 2) + c = - 4 (a \neq 0)$ 无实数根，则 $b$ 的取值范围是 $b < 1 .$ 其中正确的结论有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ，当点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 满足 $2 (x_{1} + x_{2}) = y_{1} + y_{2}$ 时，称点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 的“倍增点”，已知点 $P_{1} (1 ， 0)$ ，有下列结论：
①点 $Q_{1} (3 ， 8)$ ， $Q_{2} (- 2 ， - 2)$ 都是点 $P_{1}$ 的“倍增点”；
②若直线 $y = x + 2$ 上的点A是点 $P_{1}$ 的“倍增点”，则点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 4)$ ；
③抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 上存在两个点是点 $P_{1}$ 的“倍增点”；
④若点 $B$ 是点 $P_{1}$ 的“倍增点”，则 $P_{1} B$ 的最小值是 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ．
其中，正确结论的个数是（　　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 $x$ ，根据题意，请列出方程．

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12. 某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x>0），则x= (用百分数表示)．

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13. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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14. 将一个容积为360cm³的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：（不必化简）．

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15. 若 $W = 5 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 2 y + 8 x + 3$ （ $x 、 y$ 为实数），则 $W$ 的最小值为.

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16. 如图是一块矩形菜地ABCD，AB=a（m），AD=b（m），面积为 $s (m^{2})$ .现将边AB增加1m.

(1)、如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是.

(2)、如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为 $2 s (m^{2})$ ，则s的值是.

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三、解答题（共6题，共35分)

17. 解方程： $(2 x + 3)^{2} = (3 x + 2)^{2}$

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18. 设一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ ．在下面的四组条件中选择其中一组 $b ， c$ 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
① $b = 2 ， c = 1$ ；② $b = 3 ， c = 1$ ；③ $b = 3 ， c = - 1$ ；④ $b = 2 ， c = 2$ ．

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19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m = 0$ ．

(1)、求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；

(2)、设该方程的两个实数根为a，b，若 $(2 a + b) (a + 2 b) = 20$ ，求m的值．

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20. 先化简，再求值： $(\frac{a}{a^{2} - b^{2}} - \frac{1}{a + b}) \div \frac{1}{a^{2} - a b}$ ，其中a ， b是方程 $x^{2} + x - 6 = 0$ 的两个根.

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21. 若a为一元二次方程x²- $4 \sqrt{2}$ x=-4的较大的个根，b为一元二次方程（y-4）²=18的较小的一个根，求a-b的值.

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22. 加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中 $1000 m^{2}$ 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/ $m^{2}$ ）与其种植面积x（单位： $m^{2}$ ）的函数关系如图所示，其中 $200 \leq x \leq 700$ ；乙种蔬菜的种植成本为50元/ $m^{2}$ ．

(1)、当 $x =$ $m^{2}$ 时， $y = 35$ 元/ $m^{2}$ ；

(2)、设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？

(3)、学校计划今后每年在这 $1000 m^{2}$ 土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降 $10 %$ ，乙种蔬菜种植成本平均每年下降 $a %$ ，当a为何值时，2025年的总种植成本为 $28920$ 元？

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四、实践探究题(共4题，共37分）

23. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有 $[a ， b] * [c ， d] = a c - b d$ ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如： $[3 ， 2] * [5 ， 1] = 3 \times 5 - 2 \times 1 = 13$ ．

(1)、求 $[- 4 ， 3] * [2 ， - 6]$ 的值；

(2)、已知关于x的方程 $[x ， 2 x - 1] * [m x + 1 ， m] = 0$ 有两个实数根，求m的取值范围．

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24. 阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ 和系数a，b，c有如下关系： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．

材料2：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为m，n，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．

解：∵m，n是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根，

∴ $m + n = 1 ， m n = - 1$ ．

则 $m^{2} n + m n^{2} = m n (m + n) = - 1 \times 1 = - 1$ ．

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、应用：一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ ；

(2)、类比：已知一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为m，n，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值；

(3)、提升：已知实数s，t满足 $2 s^{2} + 3 s - 1 = 0 ， 2 t^{2} + 3 t - 1 = 0$ 且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值．

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25. 阅读材料，解答问题：
材料1

为了解方程 ${(x^{2})}^{2} - 13 x^{2} + 36 = 0$ ，如果我们把 $x^{2}$ 看作一个整体，然后设 $y = x^{2}$ ，则原方程可化为 $y^{2} - 13 y + 36 = 0$ ，经过运算，原方程的解为 $x_{1 ， 2} = \pm 2$ ， $x_{3 ， 4} = \pm 3$ ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

材料2

已知实数m，n满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，显然m，n是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，由书达定理可知 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)、直接应用：
方程 $x^{4} - 5 x^{2} + 6 = 0$ 的解为；

(2)、间接应用：
已知实数a，b满足： $2 a^{4} - 7 a^{2} + 1 = 0$ ， $2 b^{4} - 7 b^{2} + 1 = 0$ 且 $a \neq b$ ，求 $a^{4} + b^{4}$ 的值；

(3)、拓展应用：
已知实数m，n满足： $\frac{1}{m^{4}} + \frac{1}{m^{2}} = 7$ ， $n^{2} - n = 7$ 且 $n > 0$ ，求 $\frac{1}{m^{4}} + n^{2}$ 的值．

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26. 【观察思考】

【规律发现】

请用含 $n$ 的式子填空：

(1)、第 $n$ 个图案中“”的个数为；

(2)、第 $1$ 个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{1 \times 2}{2}$ ，第 $2$ 个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{2 \times 3}{2}$ ，第 $3$ 个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{3 \times 4}{2}$ ，第 $4$ 个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{4 \times 5}{2}$ ， ……，第 $n$ 个图案中“★”的个数可表示为．

(3)、【规律应用】
结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数 $n$ ，使得连续的正整数之和 $1 + 2 + 3 + ⋯ + n$ 等于第 $n$ 个图案中“”的个数的 $2$ 倍．

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备考2024年浙江中考数学一轮复习专题11.2一元二次方程 真题集训

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共6题，共35分)

四、实践探究题(共4题，共37分）

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