高中数学三轮复习（直击痛点）：专题20抛物线的焦点弦问题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (x_{0} ， 4)$ 在 $C$ 上， $| F P | = 5$ ，则直线 $F P$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{3}{2}$ B、 $\pm \frac{2}{3}$ C、 $\pm \frac{4}{3}$ D、 $\pm \frac{3}{4}$

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2. 若点 $A$ 在焦点为 $F$ 的抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，且 $| A F | = 2$ ，点 $P$ 为直线 $x = - 1$ 上的动点，则 $| P A | + | P F |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 + \sqrt{5}$ C、 $2 + 2 \sqrt{2}$ D、4

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3. 已知拋物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在抛物线 $C$ 上，且 $| M F | = 4 ， O$ 为坐标原点，则 $| O M | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、5

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4. 已知 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 8 y$ 上的两点，且直线 $A B$ 经过 $C$ 的焦点，若 $y_{1} + y_{2} = 12$ ，则 $| A B | =$ （）

A、12 B、14 C、16 D、18

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5. 已知直线 $t x - y - t = 0 (0 < t < 1)$ 恒过抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F ，且与C交于点A ， B ，过线段AB的中点D作直线 $x = - 1$ 的垂线，垂足为E ，记直线EA ， EB ， EF的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，则 $k_{1} k_{2} k_{3}$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(- \infty ， - 1)$

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6. 已知点 $F (0 ， 4)$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，点 $P (2 ， 3)$ ，且点 $M$ 为抛物线 $C$ 上任意一点，则 $| M F | + | M P |$ 的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A ， B$ 两点，满足 $| A F | = 4 | B F |$ ，则 $k =$ （）

A、 $\pm \frac{4}{3}$ B、 $\pm \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. $P$ 是抛物线 $y^{2} = 6 x$ 上异于坐标原点 $O$ 的一点，点 $Q$ 在 $x$ 轴上， $O P ⊥ P Q$ ， $F$ 为该抛物线的焦点，则 $\vec{P F} \cdot \vec{P Q} =$ （）

A、12 B、11 C、10 D、9

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9. 已知点 $M$ 到点 $F (3 ， 0)$ 的距离与到直线 $x + 3 = 0$ 相等，且点 $M$ 的纵坐标为12，则 $| M F |$ 的值为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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二、多项选择题

10. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 过点 $M (4 ， y_{0}) ， C$ 的焦点为 $F ， | M F | = 6$ .直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点（均不与坐标原点 $O$ 重合），且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $p = 4$ B、 $y_{0} = 4 \sqrt{2}$ C、 $A ， B$ 两点的纵坐标之积为-64 D、直线 $l$ 恒过点 $(8 ， 0)$

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F ， C$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $M ， | M F | = 2$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、 $p = 1$ B、直线 $M A$ 和 $M B$ 的斜率之和为0 C、 $△ M A B$ 内切圆圆心不可能在 $x$ 轴上 D、当直线 $A B$ 的斜率为1时， $| A B | = 8$

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12. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）

A、 $p = 4$ B、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为16 C、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$ D、 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{6}{7}$

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13. 已知 $F$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点，过点 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $l_{2}$ 与 $C$ 相交于 $E$ ， $D$ 两点， $M$ 为 $A$ ， $B$ 中点， $N$ 为 $E$ ， $D$ 中点，直线 $l$ 为抛物线 $C$ 的准线，则（）

A、 $∠ A O B$ 有可能为锐角 B、以 $| A B |$ 为直径的圆与 $l$ 相切 C、 $| A B | + | D E |$ 的最小值为32 D、 $△ A E F$ 和 $△ B F D$ 面积之和最小值为32

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14. 设抛物线C： $y ² = 2 p x$ 的焦点为F ，准线为 $x = - 1$ . 点A ， B是抛物线C上不同的两点，且 $| A F | + | B F | = 8$ ，则（）

A、 $p = 2$ B、以线段 $A B$ 为直径的圆必与准线相切 C、线段 $A B$ 的长为定值 D、线段 $A B$ 的中点 E 到准线的距离为定值

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15. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， C的准线与x轴交于K，过焦点F的直线l与C交于P、Q两点，设 $P Q$ 的中点为M，过M作 $P Q$ 的垂线交x轴于D，下列结论正确的是（）

A、 $∠ P K F = ∠ Q K F$ B、 $t a n ∠ P K F = s i n ∠ P F D$ C、 $P Q$ 最小值为p D、 $| P Q | = 2 | F D |$

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三、填空题

16. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M ， N两点，则p= ， $\frac{| N F |}{9} - \frac{4}{| M F |}$ 的最小值为．

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17. 已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F ，斜率为1的直线l过F与C交于A ， B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则p＝．

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18. 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 上的点 $P$ （不为原点）作 $C$ 的切线 $l$ ，过坐标原点 $O$ 作 $O Q ⊥ l$ ，垂足为 $Q$ ，直线 $P F$ （ $F$ 为抛物线的焦点）与直线 $O Q$ 交于点 $T$ ，点 $A (0 ， 2)$ ，则 $| T A |$ 的取值范围是．

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19. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F ，点M在C上， $M F ⊥ x$ 轴，若 $△ O F M$ （O为坐标原点）的面积为2，则 $p =$ .

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20. 已知点 $P$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上的动点，抛物线 $C$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (3 ， 1)$ ，则 $| P A | + | P F |$ 的最小值为；点 $B (4 ， 5)$ ，则 $| P B | + | P F |$ 的最小值为.

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21. 已知抛物线C：y²=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF⊥x轴，若△OFM(O为坐标原点)的面积为2，则P=.

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四、解答题

22. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，过 $F$ 与 $l$ 垂直的直线交 $C$ 于 $D ， E$ 两点，其中 $B ， D$ 在 $x$ 轴上方， $M ， N$ 分别为 $A B ， D E$ 的中点．

(1)、证明：直线 $M N$ 过定点；

(2)、设 $G$ 为直线 $A E$ 与直线 $B D$ 的交点，求 $△ G M N$ 面积的最小值．

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23. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F ， M (1 ， y_{0}) (y_{0} > 0)$ 是抛物线上一点且三角形MOF的面积为 $\frac{1}{8}$ （其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P ， Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M ，过点M作 $M N ⊥ P Q$ 交PQ于点N.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.

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24. 设A ， B为抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）上两点，直线 $A B$ 的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、已知O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，直线l交抛物线C于M ， N两点（异于点O），以 $M N$ 为直径的圆经过点O ，求 $△ F M N$ 面积的最小值．

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25. 已知抛物线 $Ω ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F ，且A ， B ， C三个不同的点均在 $Ω$ 上.

(1)、若直线AB的方程为 $8 x + y - 46 = 0$ ，且点F为 $△ A B C$ 的重心，求p的值；

(2)、设 $p = 2$ ，直线AB经过点 $M (2 ， 2)$ ，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且 $M D ⊥ A C$ ，求点D的轨迹方程.

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26. 在平面直角坐标系中，动点C到点 $F (1 ， 0)$ 的距离与到直线 $x = - 1$ 的距离相等.

(1)、求动点C的轨迹方程；

(2)、若直线 $l ： y = x + m$ 与动点C的轨迹交于P ， Q两点，当 $△ P Q F$ 的面积为2时，求直线l的方程.

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