浙江省温州市2023-2024学年高一上学期数学期末教学质量统一检测试卷（A卷）

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 9}$ ， $B = {x | x \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 3 ， 3)$ B、 $(- 3 ， 2]$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(- \infty ， 2]$

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2. “ $a \geq - 3$ ”是“ $a \geq - 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设 $h (x) = 2^{x} + l o g_{2} (x + 1) - 2$ ，某同学用二分法求方程 $h (x) = 0$ 的近似解（精确度为0.5）列出了对应值表如下：
$x$
$- 0.5$
0.125
0.4375
0.75
2
$h (x)$
$- 1.73$
$- 0.84$
$- 0.42$
0.03
2.69
依据此表格中的数据，得到的方程近似解 $x_{0}$ 可能是（）

A、 $x_{0} = - 0.125$ B、 $x_{0} = 0.375$ C、 $x_{0} = 0.525$ D、 $x_{0} = 1.5$

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4. 一个周长是4，面积为1的扇形的半径为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 3 a ， x \geq 0 ， \\ x^{2} ， x < 0 ， \end{array}$ 在定义域 $R$ 上是减函数，则 $a$ 的值可以是（）

A、3 B、2 C、1 D、 $- 1$

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6. 如图所示函数的图象，则下列函数的解析式最有可能是（）

A、 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ B、 $f (x) = x + s i n x$ C、 $f (x) = s i n x - x c o s x$ D、 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) l n | x |$

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7. 已知 $m$ ， $n \in R^{+}$ ，满足 $m^{2} n + 2 m n^{2} - 4 m - n = 0$ ，则 $m + 2 n$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 1$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$ D、 $4 \sqrt{2} + 9$

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8. 设 $a = 4^{l g 3}$ ， $b = 3^{\frac{1}{2}}$ ， $c = l o g_{2} 3$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 下列四个命题中是真命题的有（）

A、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} > 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ C、命题“ $\forall x \in R$ ， $s i n x < 2^{x}$ ”的否定是“ $\exists x \in R$ ， $s i n x \geq 2^{x}$ ” D、命题“ $\exists x \in R ， s i n^{2} \frac{x}{2} + c o s^{2} \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$ ”是真命题

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10. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + a (a > 0)$ ，若 $f (2) = - a$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $b = - 3 a$ B、函数 $f (x)$ 一定有两个零点 C、设 $x_{1} ， x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 两个零点，则 $x_{1} + x_{2} = 3 x_{1} x_{2}$ D、 $f (1) + \frac{1}{f (1)} \geq - 2$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} c o s 2 x - \frac{\sqrt{3}}{2} s i n 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 C、 $f (x - \frac{5 π}{12})$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[k π - \frac{π}{6} ， k π + \frac{π}{3}] (k \in Z)$

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12. 已知函数 $f (x)$ 满足： $\forall m$ ， $n \in R$ ， $f (m + n) + f (m - n) = 2 f (m) c o s n$ ， $f (0) = 1$ ， $f (\frac{π}{2}) = \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (- \frac{π}{3} - x) + f (x) = 0$ C、方程 $f (x) - \frac{1}{2} x = 0$ 有三个实根 D、 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 0)$ 上单调递增

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. $s i n 225 ° =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ，则 $f (f (16)) =$ .

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15. 若函数 $f (x) = t a n ω x$ 在 $(- π ， π)$ 上是增函数，则 $ω$ 的最大值是．

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16. 函数 $f (x) = x^{4} - 24 x + 16$ ， $g (x) = 6 x^{3} + a x^{2}$ ，方程 $f (x) = g (x)$ 恰有三个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $(x_{1} + \frac{1}{x_{1}}) (x_{2} + x_{3})$ 的值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ ， $B = {x | (x - m^{2}) (x - m + 1) \leq 0}$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求集合 $∁_{R} B$ ；

(2)、当 $B \subseteq A$ 时，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、若 $f (m - 2) + f (m) = 0$ ，求实数 $m$ 的值．

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19. 已知 $m = 4^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{- \frac{2}{3}}$ ， $n = \frac{3}{2} l g 2 + l g 5 \sqrt{5}$ ．

(1)、求m ， n的值；

(2)、已知角 $θ$ 的终边过点 $P (m ， n)$ ，求 $c o s m θ$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = l n x - l n (x - 1)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = l n (- x + t)$ 与函数 $f (x)$ 的图像存在两个不同的交点，求实数 $t$ 的取值范围．

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21. 下表是 $A$ 地一天从 $2 ~ 18$ 时的部分时刻与温度变化的关系的预报，现选用一个函数 $y = f (x)$ 来近似描述温度与时刻的关系．
时刻/h
2
6
10
14
18
温度/℃
20
10
20
30
20

(1)、写出函数 $y = f (x)$ 的解析式：

(2)、若另一个 $B$ 地区这一天的气温变化曲线也近似满足函数 $y = f (x)$ 且气温变化也是从 $10 ° C$ 到 $30 ° C$ ，只不过最高气温都比 $A$ 地区早2个小时，求同一时刻， $A$ 地与 $B$ 地的温差的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{a}{x} (a > 0)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1 ， 2)$ 有零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、记 $f (x)$ 的零点为 $x_{1}$ ， $g (x) = \frac{l n x - 1}{e} - \frac{a}{x}$ 的零点为 $x_{2}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} > 2 \sqrt{a e}$ ．

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$x$	$- 0.5$	0.125	0.4375	0.75	2
$h (x)$	$- 1.73$	$- 0.84$	$- 0.42$	0.03	2.69

时刻/h	2	6	10	14	18
温度/℃	20	10	20	30	20