2014年高考理数真题试卷（北京卷）

试卷更新日期：2016-09-28 类型：高考真卷

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一、选择题（在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. 已知集合A={x|x²﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）

A、{0} B、{0，1} C、{0，2} D、{0，1，2}

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2. 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）

A、y= $\sqrt{x + 1}$ B、y=（x﹣1）² C、y=2^﹣^x D、y=log_0.5（x+1）

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3. 曲线 ${\begin{matrix} x = - 1 + \cos θ \\ y = 2 + \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数）的对称中心（）

A、在直线y=2x上 B、在直线y=﹣2x上 C、在直线y=x﹣1上 D、在直线y=x+1上

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4. 当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）

A、7 B、42 C、210 D、840

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5. 设{a_n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a_n}为递增数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若x，y满足 ${\begin{matrix} x + y - 2 \geq 0 \\ k x - y + 2 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ 且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）

A、2 B、﹣2 C、 $\frac{1}{2}$ D、﹣ $\frac{1}{2}$

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7. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1， $\sqrt{2}$ ），若S₁ ， S₂ ， S₃分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）

A、S₁=S₂=S₃ B、S₂=S₁且S₂≠S₃ C、S₃=S₁且S₃≠S₂ D、S₃=S₂且S₃≠S₁

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8. 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）

A、2人 B、3人 C、4人 D、5人

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二、填空题

9. 复数（ $\frac{1 + i}{1 - i}$ ）²= ．

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10. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=1， $\vec{b}$ =（2，1），且 $λ \vec{a}$ + $\vec{b}$ = $\vec{0}$ （λ∈R），则|λ|= ．

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11. 设双曲线C经过点（2，2），且与 $\frac{y^{2}}{4}$ ﹣x²=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为．

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12. 若等差数列{a_n}满足a₇+a₈+a₉＞0，a₇+a₁₀＜0，则当n=时，{a_n}的前n项和最大．

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13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．

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14. 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{2}$ ]上具有单调性，且f（ $\frac{π}{2}$ ）=f（ $\frac{2 π}{3}$ ）=﹣f（ $\frac{π}{6}$ ），则f（x）的最小正周期为．

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三、解答题

15. 如图，在△ABC中，∠B= $\frac{π}{3}$ ，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC= $\frac{1}{7}$ ．

(1)、求sin∠BAD；

(2)、求BD，AC的长．

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16. 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12

(1)、从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；

(2)、从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；

(3)、记 $\bar{x}$ 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与 $\bar{x}$ 的大小（只需写出结论）．

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17. 如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．

(1)、求证：AB∥FG；

(2)、若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．

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18. 已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]

(1)、求证：f（x）≤0；

(2)、若a＜ $\frac{\sin x}{x}$ ＜b对x∈（0， $\frac{π}{2}$ ）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．

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19. 已知椭圆C：x²+2y²=4，

(1)、求椭圆C的离心率

(2)、设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x²+y²=2的位置关系，并证明你的结论．

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20. 对于数对序列P：（a₁ ， b₁），（a₂ ， b₂），…，（a_n ， b_n），记T₁（P）=a₁+b₁ ， T_k（P）=b_k+max{T_k_﹣₁（P），a₁+a₂+…+a_k}（2≤k≤n），其中max{T_k_﹣₁（P），a₁+a₂+…+a_k}表示T_k_﹣₁（P）和a₁+a₂+…+a_k两个数中最大的数，

(1)、对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T₁（P），T₂（P）的值；

(2)、记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T₂（P）和T₂（P′）的大小；

(3)、在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T₅（P）最小，并写出T₅（P）的值（只需写出结论）．

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场次	投篮次数	命中次数	场次	投篮次数	命中次数
主场1	22	12	客场1	18	8
主场2	15	12	客场2	13	12
主场3	12	8	客场3	21	7
主场4	23	8	客场4	18	15
主场5	24	20	客场5	25	12