2024年人教版中考数学二轮复习专题8 一元二次方程（解答题专练）

试卷更新日期：2024-02-23 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 某种病毒在其生长过程中，在保证自身稳定性的前提下，每隔半小时繁殖出若干个新的病毒，如果由最初的一个病毒经过1h后变成了841个病毒，求一个病毒每半小时繁殖出多少个病毒.

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2. 某种音乐播放器MP3原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元.求平均每次降价的百分率.

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3. 某公司今年销售一种产品，1月获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月的利润比2月的利润增加4.8万元，假设该产品每月利润的增长率相同，求这个增长率.

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4. 某种计算机CPU(中央处理器)经过7，8月连续两次降价，每片售价由2 500元降到了1600元.已知每次降价的百分率相同.

(1)、求每次降价的百分率.

(2)、若9月继续保持相同的百分率降价，则这款CPU在9月的售价为多少元?

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5. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k - 2) x + (1 - k) = 0 .$

(1)、求证：不论k为何值时，此方程总有两个实数根；

(2)、当方程的一个根为 $x_{1} = 5$ 时，求方程的另一个根x₂及k的值．

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6. 小明同学在寒假社会调查实践活动期间，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：
①该厂1月罐头加工量为a吨.
②该厂3月的加工量比1月增长了44%.
③该厂第一季度共加工罐头182吨.
④该厂从4月开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降.
⑤6月设备整修更新完毕，此月加工量为1月的2.1倍，与5月相比增长了46.68吨.
利用以上信息，求：

(1)、该厂第一季度加工量的月平均增长率.

(2)、a的值.

(3)、该厂第二季度的总加工量

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7. 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨

(1)、求4月份再生纸的产量；

(2)、若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加 $\frac{m}{2}$ %，则5月份再生纸项目月利润达到66万元求m的值；

(3)、若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润．

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8. 已知关于 $x$ 的二次函数 $y = (x$ $- 2 a) (x - b - 1)$ .

(1)、该函数的图象与 $x$ 轴只有一个交点，求 $a$ 与 $b$ 之间的关系.

(2)、若 $a = 1$ ，当 $x > 3$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $b$ 的取值范囲.

(3)、若 $a = m ， b = 1 - m$ ，该函数的象不经过第三累限，求 $m$ 的取值范围.

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9. 如图所示， $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ .点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $A B$ 边向 $B$ 以1cm/s的速度移动，点 $Q$ 从 $B$ 点开始沿 $B C$ 边向点 $C$ 以2cm/s的速度移动. $P$ ， $Q$ 分别从 $A$ ， $B$ 同时出发.

(1)、经过几秒， $P$ 、 $Q$ 间的距离等于6cm？

(2)、线段 $P Q$ 能否将 $△ A B C$ 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由.

(3)、几秒时， $△ P B Q$ 与 $△ A B C$ 相似？

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10. 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知 $A E = \sqrt{2}$ ，这时我们把关于x的形如 $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：

(1)、写出一个“勾系一元二次方程”；

(2)、求证：关于x的“勾系一元二次方程” $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 必有实数根；

(3)、若x＝﹣1是“勾系一元二次方程” $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 的一个根，且四边形ACDE的周长是6 $\sqrt{2}$ ，求△ABC面积．

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二、综合题

11. 如图，老李想用长为 $70 m$ 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 $A B C D$ ，并在边 $B C$ 上留一个 $2 m$ 宽的门（建在 $E F$ 处，另用其他材料）．

(1)、当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 $m^{2}$ 的羊圈？

(2)、羊圈的面积能达到 $650$ $m^{2}$ 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

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12. 某农场要建一个饲养场（矩形 $A B C D$ ）两面靠现有墙（ $A D$ 位置的墙最大可用长度为21米， $A B$ 位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米，设饲养场（矩形 $A B C D$ ）的一边 $A B$ 长为x米.

(1)、饲养场另一边 $B C =$ 米（用含x的代数式表示）；

(2)、若饲养场 $A B C D$ 的面积为180平方米，求x的值；

(3)、饲养场 $A B C D$ 的面积能围成面积比 $180 m^{2}$ 更大的吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.

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13. 如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的 $\frac{17}{80}$ ．

(1)、求配色条纹的宽度；

(2)、如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．

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14. 2020年，某家庭纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展养殖业，到2022年，家庭收入为3600元．

(1)、求该家庭2020年到2022年人均收入的年平均增长率．

(2)、若年平均增长率保持不变，2023年家庭年收入是否达到4200元？

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15. 如图所示，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A B = 6 c m$ ， $A D = 4 c m$ ，若点Q从A点出发沿 $A D$ 以 $1 c m / s$ 的速度向D运动，P从B点出发沿 $B A$ 以 $2 c m / s$ 的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为 $t (s)$ ．

(1)、当 $t$ 为何值时， $△ P D Q$ 的面积为 $6 c m^{2}$ ？

(2)、是否存在t使 $△ P D Q$ 为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

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16. 已知关于x的一元二次方程：x²-（2k+1）x+4（k- $\frac{1}{2}$ ）＝0．

(1)、求证：这个方程总有两个实数根；

(2)、若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．

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17. 定义：当 $x$ 取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”.

(1)、判断：函数 $y = x_{}^{2} + 2 x + 2$ 是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说明理由；

(2)、已知“恒心函数” $y = 3 | a x_{}^{2} + b x + c | + 2$
①当 $a > 0 ， c < 0$ 时，此时的恒心值为；
②若三个整数 $a 、 b 、 c$ 的和为12，且 $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ ，求 $a$ 的最大值与最小值，并求出此时相应的 $b 、 c$ 的值；

(3)、“恒心函数” $y = a x_{}^{2} + b x + c (b > a)$ 的恒心值为0，且 $\frac{a + b + c}{a + b} > m$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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二、综合题

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