高中数学三轮复习（直击痛点）：专题19离心率范围的求法

试卷更新日期：2024-02-23 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆的两个焦点，满足 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ 的点 $M$ 总在椭圆内部．则椭圆离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$

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2. 设椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 离心率为e，双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线的斜率小于 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则椭圆 $C_{1}$ 的离心率e的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{10}}{10} ， \frac{\sqrt{5}}{5})$ B、 $(\frac{\sqrt{5}}{5} ， 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{10}}{10} ， 1)$ D、 $(\sqrt{5} ， + \infty)$

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3. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上存在点 $P$ ，使得 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，其中 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4}]$ B、 $(\frac{1}{4} ， 1)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $[\frac{1}{2} ， 1)$

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4. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $A$ ， $B$ 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点 $P$ ，使得 $∠ A P B = 120 °$ ，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{6}}{3} ， 1)$ B、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $(0 ， \frac{3}{4}]$

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5. 已知直线 $l ： 2 x + 3 y = 0$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 无公共交点，则 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{13}}{2} ， + ∞)$ B、 $[\frac{\sqrt{13}}{3} ， + ∞)$ C、 $(1 ， \frac{\sqrt{13}}{2}]$ D、 $(1 ， \frac{\sqrt{13}}{3}]$

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6. 点 $A$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 1)$ 的右顶点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点（不与 $A$ 重合），若 $\vec{P O} \cdot \vec{P A} = 0$ （ $O$ 是坐标原点），则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， P是椭圆C上的点， $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ 是椭圆C的左右焦点，若 $\vec{P F_{1}^{}} \cdot \vec{P F_{2}^{}} \leq 2 a c$ 恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{5} - 1}{2} ， 1)$ B、 $(0 ， \sqrt{2} - 1]$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{5} - 1}{2}]$ D、 $[\sqrt{2} - 1 ， 1)$

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m^{2} - 9} + \frac{y^{2}}{m^{2} + 3} = 1$ 的焦点在 $y$ 轴上，则 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $(1 ， \frac{4}{3}]$ D、 $(1 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3}]$

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9. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的两个焦点，点 $N$ 是椭圆上的一动点，若 $0 \leq ∠ F_{2} N F_{1} < \frac{π}{2}$ ，则椭圆离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(0 ， b)$ ，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $| P B | \geq b$ ，则 $C$ 的离心率取值范围是（）

A、 $(1 ， \frac{\sqrt{5} + 1}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{5} + 1}{2} ， + ∞)$ C、 $(1 ， \sqrt{2}]$ D、 $[\sqrt{2} ， + \infty)$

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11. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ 、 $F_{2} (c ， 0)$ ，若椭圆C上存在一点P ，使得 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆的半径为 $\frac{c}{2}$ ，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{3}{5}]$ B、 $(0 ， \frac{4}{5}]$ C、 $[\frac{3}{5} ， 1)$ D、 $[\frac{4}{5} ， 1)$

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12. 已知双曲线 $C ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a ， b > 0)$ ， $P (x_{0}^{} ， y_{0}^{})$ 是直线 $b x - a y + 2 a = 0$ 上任意一点，若 $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = 2$ 与双曲线 $C$ 的右支没有公共点，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、（1，2] B、（1， $\sqrt{2}$ ] C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $[\sqrt[4]{2} ， + \infty)$

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13. 已知椭圆 $C$ 关于 $x$ 轴､ $y$ 轴均对称，焦点在 $y$ 轴上，且焦距为 $2 c (c > 0)$ ，若点 $A (c ， \frac{\sqrt{6}}{2} c)$ 不在椭圆 $C$ 的外部，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{6}}{3} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{6}}{3})$

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14. 设 $B$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $| P B | \leq 2 b$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ B、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}]$

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15. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 是该双曲线上一点且在第一象限内， $2 s i n ∠ P F_{1} F_{2} = s i n ∠ P F_{2} F_{1}$ ，则双曲线的离心率的取值范围为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(2 ， 3)$

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二、多项选择题

16. 设双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F ， M (0 ， 3 b)$ ，若直线 $l$ 与 $E$ 的右支交于 $A ， B$ 两点，且 $F$ 为 $△ M A B$ 的重心，则（）

A、 $E$ 的离心率的取值范围为 $(\frac{\sqrt{13}}{3} ， \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3} ， + ∞)$ B、 $E$ 的离心率的取值范围为 $(\frac{2 \sqrt{13}}{7} ， \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3} ， + ∞)$ C、直线 $l$ 斜率的取值范围为 $(- ∞ ， - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6} ， - \frac{2 \sqrt{13}}{9})$ D、直线 $l$ 斜率的取值范围为 $(- ∞ ， - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6} ， - \frac{2 \sqrt{13}}{3})$

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17. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，长轴长为 $4$ ，点 $P (\sqrt{2} ， 1)$ 在椭圆 $C$ 外，点 $Q$ 在椭圆 $C$ 上，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、当椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时， $|Q F_{1}|$ 的取值范围是 $[2 - \sqrt{3} ， 2 + \sqrt{3}]$ C、存在点 $Q$ 使得 $\vec{Q F_{1}} \cdot \vec{Q F_{2}} = 0$ D、 $\frac{1}{|Q F_{1}|} + \frac{1}{|Q F_{2}|}$ 的最小值为 $1$

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18. 已知曲线 $C$ ： $m x^{2} + (1 - m) y^{2} = 1$ 为焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则（）

A、 $\frac{1}{2} < m < 1$ B、 $C$ 的离心率为 $\sqrt{\frac{2 m}{1 - m}}$ C、 $C$ 的短轴长的取值范围是 $(2 ， 2 \sqrt{2})$ D、 $m$ 的值越小， $C$ 的焦距越大

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19. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，长轴长为4，点 $P (\sqrt{2} ， 1)$ 在椭圆 $Γ$ 外，点 $Q$ 在椭圆 $Γ$ 上，则（）

A、当椭圆 $Γ$ 的离心率的取值范围是 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ B、当椭圆 $Γ$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时， $| Q F_{1} |$ 的取值范围是 $[2 - \sqrt{3} ， 2 + \sqrt{3}]$ C、对任意点 $Q$ 都有 ${\vec{Q F}}_{1} \cdot \vec{Q F_{2}} > 0$ D、 $\frac{1}{| Q F_{1} |} + \frac{1}{| Q F_{2} |}$ 的最小值为2

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20. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 右焦点为 $F_{1}$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，点 $F (- 4 ， 0)$ ，若 $△ A B F$ 为锐角三角形，则下列说法正确的是（）

A、双曲线过点 $(- 2 ， 0)$ B、直线 $3 x - y = 0$ 与双曲线有两个公共点 C、双曲线的一条渐近线 $y = \frac{b}{2} x$ 的斜率小于 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、双曲线的离心率取值范围为 $(1 ， \frac{1 + \sqrt{13}}{2})$

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三、填空题

21. 已知在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $| A B | = 2 | C D | = 4$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ，双曲线以 $A$ ， $B$ 为焦点，且与线段 $A D$ ， $B C$ （包含端点 $D$ ， $C$ ）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．

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22. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 4)$ 上有且仅有4个不同的点 $P_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ 满足 $| P_{i} B | =$ $2 | P_{i} A |$ ，其中 $A (- \frac{3}{2} ， 0) ， B (- 6 ， 0)$ ，则椭圆C的离心率的取值范围为．

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23. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右两焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，其中 $| F_{1} F_{2} | = 2 c$ ．椭圆C上存在一点A ，满足 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 4 c^{2}$ ，则椭圆的离心率的取值范围是．

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24. 已知椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 有公共的焦点 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 在第一象限相交于点P.且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，若椭圆 $C_{1}$ 的离心率的取值范围是 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的离心率的取值范围是.

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25. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ ，若过点 $(2 ， 2)$ 能作该双曲线的两条切线，则该双曲线的离心率e的取值范围为．

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26. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，若 $E$ 上存在不同的两点 $A ， B$ 使得 $\vec{F_{1} A} = 3 \vec{F_{2} B}$ ，则该椭圆离心率的取值范围为.

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27. 如图，已知梯形 $A B C D$ 中， $| A B | = 2 | C D |$ ，点 $E$ 在线段 $A C$ 上且 $\vec{A E} = λ \vec{E C}$ ，双曲线过 $C ， D ， E$ 三点，且以 $A ， B$ 为焦点．当 $\frac{2}{3} \leq λ \leq \frac{3}{4}$ 时，双曲线离心率 $e$ 的取值范围是．

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四、解答题

28. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上有一点 $A$ ，它关于原点的对称点为 $B$ ，点 $F$ 为椭圆的右焦点，且满足 $A F ⊥ B F$ ，设 $∠ A B F = α$ ，且 $α \in [\frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ ，求该椭圆的离心率 $e$ 的取值范围．

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29. 如图，设椭圆 $x 2 a 2 + y 2 = 1$ （a＞1）. $| A P | = 1 + k 2 | x 1 - x 2 | = 2 a 2 | k | 1 + a 2 k 2 \cdot 1 + k 2$

（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；

（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

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30. 已知命题p：关于x的方程x²﹣2mx+1＝0有实数根，命题q：双曲线 $\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的离心率e∈（1，2），若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．

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31. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 与直线 $l ： x + y = 1$ 相交于两个不同的点 $A ， B$ 求双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 的取值范围.

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32. 已知直线 $x - y = 1$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 有两个不同的交点，求双曲线离心率 $e$ 的范围.

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33. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和 $s \geq \frac{4}{5} c$ ．求双曲线的离心率e的取值范围．

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