2024年人教版中考数学二轮复习专题3 分式

试卷更新日期：2024-02-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列各式中不是分式的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{x}$ B、 $\frac{x + 1}{x - 1}$ C、 $\frac{4}{π}$ D、 $1 - \frac{3}{x}$

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2. 如果将分式 $\frac{a}{a + b}$ 中的a、b都扩大2倍，那么分式的值（）

A、不变 B、扩大2倍 C、缩小2倍 D、扩大4倍

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3. 已知 $2 x = 3 y （ y \neq 0 ）$ ，则下面结论成立的是（　　）

A、 $\frac{x}{3} = \frac{2}{y}$ B、 $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$ C、 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ D、 $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$

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4. 分式 $\frac{x + 5}{x - 2}$ 的值是零，则 $x$ 的值为（）

A、5 B、 $- 5$ C、 $- 2$ D、2

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5. 分式 $\frac{1}{2 a^{2} b}$ 与 $\frac{1}{a b^{2}}$ 的最简公分母是（）

A、ab B、2a²b² C、a²b² D、2a³b³

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6. 若m－n＝2，则代数式 $\frac{m^{2} - n^{2}}{m} \cdot \frac{2 m}{m + n}$ 的值是（）

A、－2 B、2 C、－4 D、4

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7. 若分式 $\frac{| x | - 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ 的值为0，则x的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、±1

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8. 如果分式 $\frac{| x | - 1}{x - 1}$ 的值为零，那么 $x$ 等于（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $\pm 1$

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9. 已知三个数 $a ， b ， c$ 满足 $\frac{a b}{a + b} = \frac{1}{5}$ ， $\frac{b c}{b + c} = \frac{1}{6}$ ， $\frac{c a}{c + a} = \frac{1}{7}$ ，则 $\frac{a b c}{a b + b c + c a}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{20}$

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10. 若 $p = \frac{1}{n (n + 2)} + \frac{1}{(n + 2) (n + 4)} + \frac{1}{(n + 4) (n + 6)} + \frac{1}{(n + 6) (n + 8)} + \frac{1}{(n + 8) (n + 10)}$ ，则使p最接近 $\frac{1}{10}$ 的正整数n是（　）

A、4 B、5 C、6 D、7

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11. 下列说法中：①若 $a^{m} = 6 ， a^{n} = 3$ ，则 $a^{m - n} = 2$ ；②若 $a + b = 3 ， a b = 2$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{9}{2}$ ；③若 $(t - 2)^{2 t} = 1$ ，则 $t = 3$ 或 $t = 0$ ；④若方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 6 \\ m x + y = 4 \end{array}$ 的解也是方程组 $x - 3 y = - 2$ 的解，则 $m = 2$ ；其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

12. 若分式 $\frac{| x | - 1}{x - 1}$ 的值为0，则 $x =$ ．

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13. 设实数a，b满足 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2$ ，则分式 $\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{a^{2} + 4 a b + b^{2}}$ 的值是．

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14. 分式 $\frac{3}{2 a^{2} b}$ 与 $\frac{a - b}{a b^{2} c}$ 的最简公分母是.

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15. 分式 $\frac{| x | - 1}{(x + 1) (x - 2)}$ 的值为0，则 $x =$ ．

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16. 若 ${(5 - 2 x)}^{x + 1} = 1$ ，则 $x =$ ．

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17. 如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成 $A \times B$ （ $A \geq B$ ），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成 $M = A \times B$ 的过程，称为“快乐分解”．例如，因为 $528 = 22 \times 24$ ， 22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”．

(1)、最小的“如意数”是；

(2)、把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即 $M = A \times B$ ， A与B的和记为 $P （ M ）$ ， A与B的差记为 $Q （ M ）$ ，若 $\frac{P (M)}{Q (M)}$ 能被7整除，则M的值为．

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三、计算题

18. 先化简，后求值：（1﹣ $\frac{1}{a + 1}$ ）÷（ $\frac{a^{2} - a}{a^{2} + 2 a + 1}$ ），其中a＝3.

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四、解答题

19. 先化简 $(\frac{m}{m + 3} - \frac{2 m}{m - 3}) \div \frac{m}{m^{2} - 9} ，$ 然后从-3，0，1，3 中取一个合适的数作为 m的值代入求值.

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20. 请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成下面的问题.
先化简，再求值 $(\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 1}) ∙ \frac{x^{2} - 1}{2 x} ，$ 其中x = -3.
解：原式 $= [\frac{3 x (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{x (x - 1)}{(x - 1) (x + 1)}] \cdot \frac{(x - 1) (x + 1)}{2 x} \dots \dots$ 第一步
$= \frac{3 x^{2} + 3 x - x^{2} + x}{(x - 1) (x + 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 1)}{2 x} \dots \dots$ 第二步
$= \frac{2 x^{2} + 4 x}{(x - 1) (x + 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 1)}{2 x} \dots \dots$ 第三步
$= \frac{2 x (x + 2)}{(x - 1) (x + 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 1)}{2 x} \dots \dots$ 第四步
$= x + 2$ . $\dots \dots$ 第五步
当 x= -3 时，原式= -3 +2=- 1.

(1)、以上解题过程中，第步是约分，其变形依据是.

(2)、请你用更简便的方法，完成化简求值.

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五、实践探究题

21. 阅读：分式 $\frac{3 x - 2}{x + 1}$ 可进行如下变形： $\frac{3 x - 2}{x + 1} = \frac{3 (x + 1) - 5}{x + 1} = 3 - \frac{5}{x + 1}$ ．

(1)、探索：如果 $\frac{5 x - 3}{x + 2} = 5 + \frac{m}{x + 2}$ ，则m＝；

(2)、总结：如果 $\frac{a x + b}{x + c} = a + \frac{m}{x + c}$ （其中a ， b ， c为常数），则m＝；

(3)、应用：利用上述结论解决：若代数式 $\frac{4 x - 3}{x - 1}$ 的值为整数，求满足条件的整数x的值．

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六、综合题

22. 已知三个整式 $x^{2} + 4 x$ ， $4 x + 4$ ， $x^{2}$ ．

(1)、从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；

(2)、从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．

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23. 下面是某同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：
      $(\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}) \div \frac{x}{x - 1}$

      $= [\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{(x - 1) (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}] \div \frac{x}{x - 1}$ ……………………第一步

      $= (\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1}) \div \frac{x}{x - 1}$ ……………………第二步

      $= \frac{{(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)} \div \frac{x}{x - 1}$ ……………………第三步

      $= \frac{x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 1}{x}$ ……………………第四步

      $= \frac{2}{x (x + 1)}$ ……………………第五步

      $= \frac{2}{x^{2} + x}$ ……………………第六步

(1)、填空：
①以上化简步骤中第一步将原式中的 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$ 这一项变形为 $\frac{(x - 1) (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ 属于；（填“整式乘法”或“因式分解”）
②以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，其依据是；
③第步开始出现错误，出现错误的具体原因是；

(2)、请直接写出该分式化简后的正确结果．

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一、选择题

二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、实践探究题

六、综合题

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